Rincón Matemático
Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Cuadriláteros => Mensaje iniciado por: Michel en 06 Febrero, 2015, 09:24 am
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Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.
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Hola,
Pensando un poco, esta claro que la figura debe de ser simétrica respecto a una recta cualquiera tangente a la circunferencia de centro A.
Trazamos esa recta b tangente a la circunferencia por un punto cualquiera de la misma B.
Unimos el centro de la circunferencia con B y hacemos la bisectriz.
El punto de corte de la bisectriz con la circunferencia no dará uno de los vértices del cuadrado D.
Ahora ya solamente nos quedará haciendo perpendiculares y/o paralelas obtener el resto de vértices del cuadrado.
A la vista del resultado está claro que las dos circunferencias tienen que ser iguales de radio R, y que el cuadrado tiene por lado 2R.
Un dibujo:
Saludos.
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Hola,
¡Madre mía! ¿veis bien el cuadrado?
Yo no lo veo tal y como lo he dibujado en mi archivo ggb.
Edito
voy a poner una imagen .png
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=79908.0;attach=14942)
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No me hagas mucho caso de la respuesta, a ver si alguna de las personas que saben más que yo lo verifican o lo echan por tierra.
Supongamos una circunferencia cualquiera de radio \( r \), teniendo en cuenta la forma paramétrica de los puntos de la circunferencia \( x=rcos\alpha,y=rsin\alpha \). Dos puntos del cuadrado por tanto serían de la forma \( X=(rcos\alpha,rsin\alpha),Y=(rcos\alpha, -rsin\alpha) \) si situamos el cuadrado en los lados de la circunferencia entre el primer y el cuarto cuadrante.
La distancia entre esos dos puntos depende del ángulo \( \alpha \). Aplicando la fórmula conocida de la distancia:
\( d=X-Y=\sqrt{(rcos\alpha-rcos\alpha)^2+(rsin\alpha+rsin\alpha)^2}=\sqrt{(2rsin\alpha)^2}=2rsin\alpha \) con \( -\pi<\alpha<\pi \) y \( \alpha\neq 0 \)
Un saludo.
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Escribo de nuevo para decir que acabo de ver tu dibujo, antes no me salía y he pensado que los puntos estaban en cualquier parte de la circunferencia, no sólo dónde tú los pones.
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Escribo de nuevo para decir que acabo de ver tu dibujo, antes no me salía y he pensado que los puntos estaban en cualquier parte de la circunferencia, no sólo dónde tú los pones.
Hola josepapaiii
Por lo que yo entiendo del enunciado los vértices del cuadrado pueden estar en cualquier parte de la circunferencia.
Otra cosa sobre el enunciado es que la segunda circunferencia en principio no te dice nada sobre el radio que deba tener.
Lo que ocurre es que con el razonamiento que yo hago, suponiendo que sea el correcto, pues sale así.
Un saludo
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Por lo que yo entiendo del enunciado los vértices del cuadrado pueden estar en cualquier parte de la circunferencia.
Otra cosa sobre el enunciado es que la segunda circunferencia en principio no te dice nada sobre el radio que deba tener.
Lo que ocurre es que con el razonamiento que yo hago, suponiendo que sea el correcto, pues sale así.
Un saludo
En tu enuciado no dice nada absolutamente de que los vértices del cuadrado están donde tú dices solamente, simplemente dice una circunferencia de radio r y que los otros puntos están en la recta tangente y yo entiendo ahí que pueden estar en cualquier lado, he excluido los ángulos \( -\pi, \pi \) porque precisamente lo había visto evidente, aunque es cierto de que también hay que contemplar el caso, pero en tal caso ya lo has hecho tú.
Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.
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No me hagas mucho caso de la respuesta, a ver si alguna de las personas que saben más que yo lo verifican o lo echan por tierra.
Supongamos una circunferencia cualquiera de radio \( r \), teniendo en cuenta la forma paramétrica de los puntos de la circunferencia \( x=rcos\alpha,y=rsin\alpha \). Dos puntos del cuadrado por tanto serían de la forma \( X=(rcos\alpha,rsin\alpha),Y=(rcos\alpha, -rsin\alpha) \) si situamos el cuadrado en los lados de la circunferencia entre el primer y el cuarto cuadrante.
La distancia entre esos dos puntos depende del ángulo \( \alpha \). Aplicando la fórmula conocida de la distancia:
\( d=X-Y=\sqrt{(rcos\alpha-rcos\alpha)^2+(rsin\alpha+rsin\alpha)^2}=\sqrt{(2rsin\alpha)^2}=2rsin\alpha \) con \( -\pi<\alpha<\pi \) y \( \alpha\neq 0 \)
Un saludo.
Hola de nuevo josepapaiii
En el razonamiento que haces no estás teniendo en cuenta que "los otros dos vértices del cuadrado tienen que estar en otra circunferencia tangente a la primera"
Tu estás fijando los puntos X, e Y, que pueden corresponder por ejemplo con los vértices D y E del cuadrado (de mi dibujo), pero no tienes para nada en cuenta que H y G deben caer en otra circunferencia distinta a la inicial y en principio de radio desconocido y que es tangente a la primera.
Saludos.
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En tu enuciado no dice nada absolutamente de que los vértices del cuadrado están donde tú dices solamente, simplemente dice una circunferencia de radio r y que los otros puntos están en la recta tangente y yo entiendo ahí que pueden estar en cualquier lado, he excluido los ángulos \( -\pi, \pi \) porque precisamente lo había visto evidente, aunque es cierto de que también hay que contemplar el caso, pero en tal caso ya lo has hecho tú.
Tienes razón josepapaiii. Si es que no leo los enunciados...
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Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangentea esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.
Ahora que lo releo... claro, yo entendí que una tangente se refiere a otra circunferencia tangente. Pero bueno... ¿puede ser también una recta tangente?
Esperemos a que michel nos ilumine.
Saludos
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Tienes razón josepapaiii. Si es que no leo los enunciados...
Yo entendía como "tangente" rectas tangentes, ¿de dónde has sacado ese problema?, ¿es de secundaria?.
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Yo entendía como "tangente" rectas tangentes, ¿de dónde has sacado ese problema?, ¿es de secundaria?.
El problema lo propuso michel.
En esta sección michel propone todos los días problemas para resolver usando la Geometría Sintética, a mi me gustan bastante y llevo unas semanas intentando colaborar con él resolviendo problemas, ya que si nadie ayuda al cabo de un tiempo pone las soluciones.
En general todos se pueden resolver con conocimientos de secundaría. Si miras los problemas que hay propuestos, te darás cuenta de que no es necesario unos conocimientos avanzados para resolverlos.
Edito:
Copio y pego el enunciado que aparece al principio de esta sección en el foro:
"Los problemas presentados en esta sección deben resolverse por Geometría Sintética. Precisamente se trata de promover la práctica de esta parte tan importante de la Geometría, tan abandonada desde hace algunos años en los programas de Enseñanza Secundaria en muchos países."
josepapaiii ¡anímate y participa!
Un saludo.
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El problema lo propuso michel.
En esta sección michel propone todos los días problemas para resolver usando la Geometría Sintética, a mi me gustan bastante y llevo unas semanas intentando colaborar con él resolviendo problemas, ya que si nadie ayuda al cabo de un tiempo pone las soluciones.
En general todos se pueden resolver con conocimientos de secundaría. Si miras los problemas que hay propuestos, te darás cuenta de que no es necesario unos conocimientos avanzados para resolverlos.
Edito:
Copio y pego el enunciado que aparece al principio de esta sección en el foro:
"Los problemas presentados en esta sección deben resolverse por Geometría Sintética. Precisamente se trata de promover la práctica de esta parte tan importante de la Geometría, tan abandonada desde hace algunos años en los programas de Enseñanza Secundaria en muchos países."
josepapaiii ¡anímate y participa!
Un saludo.
Hosti, es cierto, no había ni mirado quién proponía el problema ni por qué :D
Pues entonces a esperar ;D
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Hola a los dos.
El enunciado dice :Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.
Cuando se dice "tangente a una circunferencia" normalmente nos referimos a una recta.
¿Podría ser ésta la figura?
Saludos.
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Hola a los dos.
El enunciado dice :Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.
Cuando se dice "tangente a una circunferencia" normalmente nos referimos a una recta.
¿Podría ser ésta la figura?
Saludos.
Hola Michel, sí podría ser esa figura, es un caso similar al que yo expuesto pero en este caso \( X \) e \( Y \) estarían en el tercer y cuarto cuadrante y no en el primer y cuarto cuadrante, la distancia \( d \) sería exactamente la misma, creo.
No obstante, pensándolo ahora mismo, en este caso no se iría el coseno tal cual yo lo he planteado ya que tendríamos que la coordenada \( x \) en ese punto sería \( -cos\alpha \). Tendría que pensarlo un poco más.
Un saludo.
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Hola josepapaiii
En Geometría Sintética sobran los ejes, las coordenadas, propios de la Geometría Analítica, por lo que está prohibido hablar de equis, íes, cuadrantes, etc.
Las figuras aparecerán mondas y lirondas en el desértico plano; observa la que adjunto.
Por eso yo te aconsejaría no hacer uso de la Vista algebraica de GeoGebra.
¿Entendido?
Saludos.
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Hola,
Después de la aclaración de michel ha quedado claro.
Trazando el triángulo rectángulo HOB:
\( \overline{OB}=R \) siendo R el rafio de la circunferencia.
\( \overline{HB}=\displaystyle\frac{l}{2} \) siendo \( l \) el lado del cuadrado, esto es la mediad que queremos hallar.
\( \overline{OH}=R-(2R-l)=l-R \)
Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo HOB Tendremos:
\( \overline{OB}^2=\overline{OH}^2+\overline{HB}^2\Longrightarrow{}R^2=(l-R)^2+(\displaystyle\frac{l}{2})^2 \)
Operando:
\( l=\displaystyle\frac{8R}{5} \)
Un saludo.