[Fernando Revilla]

    Proporciono un tercer método para resolver el problema de este hilo.

• Usando el teorema espectral hallamos las ecuaciones paramétricas de la elipse \( E\equiv x^2+y^2+ x+y=xy \) y mediante un giro y una traslación, obtenemos
  
          \( E\equiv \left \{ \begin{matrix}x=-1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\\y=-1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\end{matrix}\right.\qquad t\in [0,2\pi]. \)
  
• Sumando queda \( x+y=-2+2\sin t \).
• Por último, \( f(x,y)=x^3+y^3\underbrace{=}_{\text{visto}}-(x+y)^2=-(2+2\sin t)^2=-4(1-\sin t)^2 \).
  Por tanto el mínimo absoluto de \( f \) es \( -16 \) para \( t=3\pi/2 \) y el máximo \( 0 \) para \( t=\pi/2. \)

P.D. Lo tres métodos ya aparecen en el link Extremos de $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre una elipse.

[jacks]

Finding maximum and minimum value of \( \displaystyle x^3+y^3 \) subjected to \( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \)

De la condición, llegamos a
$$x^3+y^3=-(x+y)^2$$

\( \displaystyle x^2+y^2+ x+y=xy \) Se reescribe como
$$(x+y)^2+(x+y)=3xy...(1)$$
Tambien $$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy...(2)$$
Reempmazando $$(2) en (1)$$ se tiene que
$$(x+y)^2+4(x+y)=-3(x-y)^2\leq{0}$$
De donde $$(x+y)^2+4(x+y)\leq{0}$$
$$(x+y)(x+y+4)\leq{0}$$

Caso I
$$x+y\geq{0}$$ y $$x+y\leq{-4}$$
Lo que claramente lleva a una contradicción
 
CasoII
$$x+y\leq{0}$$ y $$-4\leq{x+y}$$
$$-4\leq{x+y}\leq{0}$$
Por lo que $$-16\leq{-(x+y)^2}\leq{0}$$
Para $$x=y=-2$$ se tiene $$-(x+y)^2=-16$$
Para $$x=y=0$$ se tiene $$-(x+y)^2=0$$
 Por lo que el mínimo es $$-16$$ y el máximo $$0$$

Thanks Thadeu

[jacks]

    Proporciono un tercer método para resolver el problema de este hilo.

• Usando el teorema espectral hallamos las ecuaciones paramétricas de la elipse \( E\equiv x^2+y^2+ x+y=xy \) y mediante un giro y una traslación, obtenemos
  
          \( E\equiv \left \{ \begin{matrix}x=-1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\\y=-1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\end{matrix}\right.\qquad t\in [0,2\pi]. \)
  
• Sumando queda \( x+y=-2+2\sin t \).
• Por último, \( f(x,y)=x^3+y^3\underbrace{=}_{\text{visto}}-(x+y)^2=-(2+2\sin t)^2=-4(1-\sin t)^2 \).
  Por tanto el mínimo absoluto de \( f \) es \( -16 \) para \( t=3\pi/2 \) y el máximo \( 0 \) para \( t=\pi/2. \)

P.D. Lo tres métodos ya aparecen en el link Extremos de $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre una elipse.

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