[folho]

Hola, me ha surgido la siguiente cuestión y agradecería si alguien pudiera ayudarme con ella:

Sea \( X \) un espacio de Banach y  \( f:X\to\mathbb{R} \)  una aplicación que admite derivada en un punto \( x\in X \) con respecto a cualquier dirección, esto es, para cualquier \( v\in X \) existe el límite \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+hv)-f(x)}{h}} \).
Si denotamos por \( f_v(x) \) la derivada direccional de \( f \) en el punto \( x \) a lo largo de la dirección \( v \), ¿es cierto que \( f_{rv+tw}(x)=rf_{v}(x)+tf_{w}(x) \) donde \( r,t\in\mathbb{R} \)?

[geómetracat]

Yo diría que es falso. Hay contraejemplos conocidos en análisis de 2 variables (es decir, cuando tu espacio de Banach es \( \Bbb R^2 \)). Un ejemplo típico es:

\( f(x)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si}& (x,y) \neq (0,0)\\ 0& \text{si}& (x,y) = (0,0) \end{cases} \)

Tiene derivadas direccionales en todas las direcciones en \( (0,0) \), pero la derivada direccional en dirección \( v=(a,b) \) es:
\( D_vf(0,0)=\frac{ab}{a^2+b^2} \),
así que no es lineal.

El problema, por supuesto, es que esta función no es diferenciable en el origen, que es una condición mucho más fuerte que tener todas las derivadas direccionales. Si la función es diferenciable en un punto, entonces todas las derivadas direccionales existen, y tienes linealidad en las direcciones.

[folho]

Yo diría que es falso. Hay contraejemplos conocidos en análisis de 2 variables (es decir, cuando tu espacio de Banach es \( \Bbb R^2 \)). Un ejemplo típico es:

\( f(x)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si}& (x,y) \neq (0,0)\\ 0& \text{si}& (x,y) = (0,0) \end{cases} \)

Tiene derivadas direccionales en todas las direcciones en \( (0,0) \), pero la derivada direccional en dirección \( v=(a,b) \) es:
\( D_vf(0,0)=\frac{ab}{a^2+b^2} \),
así que no es lineal.

El problema, por supuesto, es que esta función no es diferenciable en el origen, que es una condición mucho más fuerte que tener todas las derivadas direccionales. Si la función es diferenciable en un punto, entonces todas las derivadas direccionales existen, y tienes linealidad en las direcciones.

LLevas razón, buen contraejemplo. Gracias.