[Lorenita]

Aqui hay otra

Si \( h=f o g  \)
 Determine rango de \( h \)  e inversa  de \( h \) ,si es que tiene.


\( f(x)=2x-1 , x\in{}] -1,4] \)
\( g(x)=2x^2 -x+1  , x\in{}] -\displaystyle\frac{1}{2},5] \)

[Buscón]

Aqui hay otra

Si \( h=f o g  \)
 Determine rango de \( h \)  e inversa  de \( h \) ,si es que tiene.


\( f(x)=2x-1 , x\in{}] -1,4] \)
\( g(x)=2x^2 -x+1  , x\in{}] -\displaystyle\frac{1}{2},5] \)

Mi solución.

La función    \( g:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable en todo     \( \mathbb{R} \)    por ser suma y composición de continuas derivables.

\( g'(x)=4x-1 \);    \( g'(x)=0\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{1}{4}} \);    \( g'\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-3 \);    \( g'(5)=19 \)

La función    \( g \)    tiene un mínimo en    \( x=\displaystyle\frac{1}{4} \).   

\( g\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=2 \);    \( g(5)=46 \).

La función    \( g_{|_{[-1/2,5]}} \)    tiene un máximo en    \( x=5 \)    así que la imagen de la función     \( g_{|_{]-1/2,5[}} \)    es el intervalo    \( [0,46[ \).

\( ]-1,4]\cap{[0,46[}=[0,4] \).

La función    \( f\circ{g} \)    es entonces    \( h:[0,4]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por

\( h(x)=f\big(g(x)\big)=2\big[2x^2-x+1\big]-1=4x^2-2x+1 \).

La función    \( h \)    es derivable en todo    \( \mathbb{R} \).

\( h'(x)=8x-2 \);    \( h'(x)=0\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{1}{4}} \);    \( h'(0)=-2 \);    \( h'(4)=30 \)

La función    \( h \)    tiene un mínimo en    \( x=\displaystyle\frac{1}{4} \)    así que la función    \( h_{|_{[0,4]}} \)    no puede tener inversa y su imagen es el intervalo    \( [0,49] \).

Saludos.

CORREGIDO.
   

[Lorenita]

gracias por tu respuesta , pero se supone que es sin derivadas

[delmar]

Hola

Para que exista inversa la compuesta ha de ser inyectiva y para que esto ocurra, tanto g como f han de ser inyectivas. f es evidente que es inyectiva; pero g no lo es en su dominio, por ejemplo \( g(0)=g(1/2)=1 \), en consecuencia, hay que encontrar, la parte (en caso exista) del dominio de g, en la cual g es inyectiva y luego averiguar si las imágenes respectivas están en el dominio de f, es decir si pertenecen, al dominio de la compuesta, en caso contrario se hará un segundo recorte (en caso sea posible)  del dominio de g, para que la compuesta exista y sea inyectiva.

Muestro la determinación de la parte del dominio de  g en la cuál, esta función es inyectiva:

¿Que ha de ocurrir para que g no sea inyectiva? Consideremos \( x_1,x_2\in{D(g)} \ / \ g(x_1)=g(x_2) \) esto implica :

\( 2x_1^2-x_1+1=2x_2^2-x_2+1\Rightarrow{2(x_2^2-x_1^2)-(x_2-x_1)=0}\Rightarrow{(x_2-x_1) (2(x_2+x_1)-1)=0} \)

La igualdad ocurre obviamente cuando \( x_1=x_2 \); pero también ocurre cuando \( x_1\neq{x_2} \) en este caso \( 2(x_2+x_1)-1=0\Rightarrow{x_2=\displaystyle\frac{1}{2}-x_1} \), por ejemplo a \( x_1=-1/2 \) le corresponde \( x_2=1 \) esto da una idea del intervalo en el cuál g no es inyectiva, sea A un elemento del dominio de g :

si \( -1/2\leq{x_1}\leq{A}\Rightarrow{1/2\geq{-x_1}\geq{-A}\Rightarrow{1\geq{\displaystyle\frac{1}{2}-x_1}}\geq{1/2-A}} \), en consecuencia el mayor intervalo, para que si \( x_1\in{D(g)}, \ \exists{x_2=1/2-x_1} \ / \ g(x_1)=g(x_2) \) es decir en el cuál g no es inyectiva, se corresponde con \( 1/2-A=-1/2\Rightarrow{A=1} \), luego el intervalo en que g no es inyectiva es : \( [-1/2,1] \), por lo tanto g es inyectiva en \( I=(1,5] \). Ahora ha de averiguarse para que valores del intervlo I existe la compuesta, es decir los valores de I tal que \( -1\leq{g(x)}\leq{4}\Leftrightarrow{-1\leq{2x^2-x+1}\leq{4}} \)

Si \( x>1 \) se cumple la desigualdad izquierda (son valores positivos) sin mucho análisis, la desigualdad derecha es la que hay que demostrar :

\( 2x^2-x+1\leq{4}\Rightarrow{2x^2-x-3\leq{0}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{(2x)^2-(2x)-6}{2}\leq{0}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{(2x-3)(2x+2)}{2}\leq{0}}\Rightarrow{(2x-3)(x+1)\leq{0}} \) In.1

Analizando In. 1,se llega a que la desigualdad derecha e izquierda se cumplen, cuando \( x\in{[-1,3/2]} \), por lo tanto el dominio de la función compuesta que es inyectiva será : \( D(f \ o \ g)=(1,3/2] \). Por lo tanto si existe inversa de la función compuesta en ese dominio

Ahora sí, a encontrar la relación funcional de la inversa de la compuesta, que tal si muestras algún avance.

Saludos

[hméndez]

Aqui hay otra

Si \( h=f o g  \)
 Determine rango de \( h \)  e inversa  de \( h \) ,si es que tiene.


\( f(x)=2x-1 , x\in{}] -1,4] \)
\( g(x)=2x^2 -x+1  , x\in{}] -\displaystyle\frac{1}{2},5] \)

Determinando h y su dominio:

\( (f\circ{}g)(x)=f(g(x))=2(2x^2-x+1)-1=4x^2-2x+1=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \)  (parábola con vértice en \( (\frac{1}{4}, \;\frac{3}{4}) \))


\( Dom(f\circ{}g)=\left\{{x\in{}Dom(g)\;/\;g(x)\in{}Dom(f)}\right\} \)

\( Dom(f\circ{}g)=\left\{{x\in{}] -\frac{1}{2},\;5]\;/\;2x^2-x+1\in{}] -1,\;4]}\right\} \)  (*)

\( Dom(f\circ{}g)=\left\{{x\in{}] -\frac{1}{2},\;5]\;/\;x\in{}[-1,\; \frac{3}{2}]}\right\} \)

\( Dom(f\circ{}g)=\;]-\frac{1}{2},\;5]\;\cap{}\;[-1,\; \frac{3}{2}] \)

\( Dom(f\circ{}g)=\;]-\frac{1}{2},\; \frac{3}{2}] \).


Por tanto:

\( h(x) = 4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4},\quad x\in{}]-\frac{1}{2},\;\frac{3}{2}] \).

Del resultado obtenido es claro que la gráfica de h corresponde a un arco de parábola cuyo vértice \( (\frac{1}{4}, \;\frac{3}{4}) \)
presenta la abscisa en el interior del intervalo dominio \( ]-\frac{1}{2},\;\frac{3}{2} ] \) y de allí que este abarque parte de su rama
izquierda como de la derecha, es decir no es monotona en su dominio, por lo que h no es inyectiva y por tanto no tiene inversa.

Para su recorrido es fácil ver que debe ir desde la ordenada de su vértice, 3/4, hasta su ordenada más alta de entre h(-1/2)=3 y h(3/2)=7.

Rango de h = \( [\frac{3}{4},\; 7] \)


(*)

Aparte:

\( 2x^2-x+1\in{}]-1,\;  4]\Longleftrightarrow{}-1<2x^2-x+1\leq{}4 \)

                                 \( \Longleftrightarrow{}-1<2x^2-x+1\quad \wedge\quad 2x^2-x+1\leq{}4 \)
                                         
                                 \( \Longleftrightarrow{}\quad 0<2x^2-x+2\quad\wedge\quad 2x^2-x-3\leq{}0 \)

                                 \( \Longleftrightarrow{}\quad x\in{}\mathbb{R}\quad\wedge\quad x\in{}[-1,\; \frac{3}{2}] \)

                                 \( \Longleftrightarrow{}\quad x\in{}[-1,\;\frac{3}{2}] \)




Saludos

[delmar]

Muestro la determinación de la parte del dominio de  g en la cuál, esta función es inyectiva:

¿Que ha de ocurrir para que g no sea inyectiva? Consideremos \( x_1,x_2\in{D(g)} \ / \ g(x_1)=g(x_2) \) esto implica :

\( 2x_1^2-x_1+1=2x_2^2-x_2+1\Rightarrow{2(x_2^2-x_1^2)-(x_2-x_1)=0}\Rightarrow{(x_2-x_1) (2(x_2+x_1)-1)=0} \)

La igualdad ocurre obviamente cuando \( x_1=x_2 \); pero también ocurre cuando \( x_1\neq{x_2} \) en este caso \( 2(x_2+x_1)-1=0\Rightarrow{x_2=\displaystyle\frac{1}{2}-x_1} \), por ejemplo a \( x_1=-1/2 \) le corresponde \( x_2=1 \) esto da una idea del intervalo en el cuál g no es inyectiva, sea A un elemento del dominio de g :

si \( -1/2\leq{x_1}\leq{A}\Rightarrow{1/2\geq{-x_1}\geq{-A}\Rightarrow{1\geq{\displaystyle\frac{1}{2}-x_1}}\geq{1/2-A}} \), en consecuencia el mayor intervalo, para que si \( x_1\in{D(g)}, \ \exists{x_2=1/2-x_1} \ / \ g(x_1)=g(x_2) \) es decir en el cuál g no es inyectiva, se corresponde con \( 1/2-A=-1/2\Rightarrow{A=1} \), luego el intervalo en que g no es inyectiva es : \( [-1/2,1] \), por lo tanto g es inyectiva en \( I=(1,5] \).

Tengo dislexia especialmente cuando estoy apurado, veo \( [ \) en lugar de \( ] \); por eso puse el ejemplo de que \( x_1=-1/2 \)  se corresponde con \( x_2=1/2-x_1=1 \); no puedo poner este ejemplo; por que \( -1/2\not\in{D(g)} \); pero se puede poner otro como por ejemplo \( x_1=0 \) que se corresponde con \( x_2=1/2 \) y se verifica \( g(x_1)=g(x_2) \). Entonces g es inyectiva en \( [1,5] \); pero hay un detalle del cuál me olvide en mi aporte anterior, en el intervalo \( (-1/2,1) \) g no es inyectiva,  cada valor de ese intervalo, se corresponde con otro valor del mismo intervalo, de tal manera que la función g vale lo mismo, por eso no es inyectiva; pero ¿podrá partirse ese intervalo de tal manera de que g sea inyectiva en cada parte? La respueta es sí, consideremos M al número que parte, entonces se tiene :

si \( -1/2<x_1\leq{M}\Rightarrow{1/2>-x_1\geq{-M}}\Rightarrow{1>1/2-x_1\geq{1/2-M}}\Rightarrow{1/2-M\leq{x_2}<1} \), la partición ocurre cuando \( x_1 \) y \( x_2 \) están en intervalos distintos, esto se da completamente si \( M=1/2-M\Rightarrow{M=1/4} \), por ser inyectiva g en \( [1/4,1) \), g también es inyectiva en \( [1/4,5] \).

Por lo tanto la compuesta \( h=fog \) es inyectiva en \( [1/4,5]\cap{[-1,3/2]=[1/4,3/2]} \)
en este intervalo \( [1/4,3/2] \),  h tiene inversa.

Saludos

[Buscón]

Vuelvo a intentarlo porque tras revisarlo no coinciden los resultados ni con los de delmar ni con los de hméndez y cometí muchos errores.

Se considera la función

\( h(x)=(f\circ{g})(x)=f\big(g(x)\big)=2\big[2x^2-x+1\big]-1=4x^2-2x+2-1=\bf4x^2-2x+1 \),

así como las funciones    \( f \)    y    \( g \)    dadas, derivables en sus dominios de definición por ser éstas restricciones de funciones derivables en el conjunto de los números reales.

Se calculan las derivadas de    \( g \)    y    \( h \),

\( \bf g'(x)=4x-1 \);    \( \bf h'(x)=8x-2 \),

 

es claro que la derivada de la función    \( g \)    se anula en    \( x=\displaystyle\frac{1}{4}\in{\left]-\displaystyle\frac{1}{2},5\right]} \),    ahora, como

\( \left.\begin{array}\,g'(0)&=&-1<0\\\\ g'(1)&=&3>0\end{array}\right\}\Rightarrow{g\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)}=2\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{4}+1=\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}+1=\displaystyle\frac{1-2+8}{8}=\bf \displaystyle\frac{7}{8} \),

la función es estrictamente decreciente para valores de    \( x\in{\left]-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{4}\right[} \)    y    estrictamente creciente para valores de     \( x\in{\left]\displaystyle\frac{1}{4},5\right]} \)    y por lo tanto tiene un mínimo absoluto en     \( x=\displaystyle\frac{1}{4} \).    Por otra parte   

\( \max\left\{g\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right),g(5)\right\}=g(5)=2\cdot{25}-5+1=\bf 46 \),

la función tiene un máximo absoluto en    \( x=5 \).    Se puede redefinir entonces     \( g \)    con más precisión de la siguiente manera,

\( g:\left]-\displaystyle\frac{1}{2},5\right]\longrightarrow{\left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right]} \)    dada por    \( \bf g(x)=2x^2-x+1 \),

esto es, la imagen de la función    \( g \)    es el intervalo    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right] \).    Se deduce también que no es inyectiva.

La composición de    \( f \)    con     \( g \)    sólo tiene sentido para los valores de    \( g \)    incluidos en el dominio de    \( f \),    esto es, la composición    \( h \)    viene definida como

\( h:\left]-1,4\right]\cap{\left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right]}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \)

\( h:\left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \).

La derivada de la función    \( h \)    sólo se anula en    \( x=\displaystyle\frac{1}{4}\not\in{\left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right]} \)    y    \( g(1)=3>0 \)     luego es estrictamente creciente en    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right] \),    por lo tanto inyectiva y si tiene inversa.

Su imagen es el intervalo   \( \left[h\left(\displaystyle\frac{7}{8}\right),h(4)\right]=\left[\displaystyle\frac{37}{16},57\right] \)    que además será el dominio de su inversa.   

Viene definida por

\( h^{-1}:\left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right]\longrightarrow{\left[\displaystyle\frac{37}{16},57\right]} \).

Sólo queda calcular su expresión.

Espero no haber metido mucho la pata.


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La composición de    \( f \)    con     \( g \)    sólo tiene sentido para los valores de    \( g \)    incluidos en el dominio de    \( f \),    esto es, la composición    \( h \)    viene definida como

\( h:\left]-1,4\right]\cap{\left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right]}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \)

\( h:\left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \).

 Aquí te lías; confundes la intersección del domino de \( f \) y de la imagen de \( g \), con el dominio de la composición \( h \) (que debería de ser un subconjunto del dominio de \( g \)).

 Ten en cuenta que:

\( dom(h)=\{x\in dom(g)|g(x)\in dom(f)\} \)

Saludos.

[Buscón]

Hola

La composición de    \( f \)    con     \( g \)    sólo tiene sentido para los valores de    \( g \)    incluidos en el dominio de    \( f \),    esto es, la composición    \( h \)    viene definida como

\( h:\left]-1,4\right]\cap{\left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right]}\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \)

\( h:\left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( h(x)=4x^2-2x+1 \).

 Aquí te lías; confundes la intersección del domino de \( f \) y de la imagen de \( g \), con el dominio de la composición \( h \) (que debería de ser un subconjunto del dominio de \( g \)).

 Ten en cuenta que:

\( dom(h)=\{x\in dom(g)|g(x)\in dom(f)\} \)

Saludos.

\begin{align*}
\left]-\displaystyle\frac{1}{2},5\right]\xrightarrow{por\, g}&\left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right]\\\\
&\left]-1,4\right]\xrightarrow{por\,f}\mathbb{R}
\end{align*}

Sólo tiene sentido evaluar    \( f \)    para los valores del intervalo    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right] \)    que además pertenezcan a su dominio. ¿No?

Estos son el intervalo    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right] \). ¿No?

El intervalo    \( \left]-1,\displaystyle\frac{7}{8}\right[ \)    no pertenece a la imagen de    \( g \)    a pesar de pertenecer al dominio de    \( f \). No tiene sentido evaluarlo por    \( f \). ¿No?

El intervalo    \( ]4,46] \)    no pertenece al dominio de    \( f \)    a pesar de pertenecer a la imagen de    \( g \).    Tampoco tiene sentido evaluarlo por    \( f \). ¿No?

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Sólo tiene sentido evaluar    \( f \)    para los valores del intervalo    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},46\right] \)    que además pertenezcan a su dominio. ¿No?

Estos son el intervalo    \( \left[\displaystyle\frac{7}{8},4\right] \). ¿No?

El intervalo    \( \left]-1,\displaystyle\frac{7}{8}\right[ \)    no pertenece a la imagen de    \( g \)    a pesar de pertenecer al dominio de    \( f \). No tiene sentido evaluarlo por    \( f \). ¿No?

El intervalo    \( ]4,46] \)    no pertenece al dominio de    \( f \)    a pesar de pertenecer a la imagen de    \( g \).    Tampoco tiene sentido evaluarlo por    \( f \). ¿No?

Todo eso está bien y no te lo discuto. Pero no se si has entendido mi anterior mensaje.

De todo ese razonamiento NO se deduce sin embargo que el dominio de \( h=f\circ g \) sea \( [7/8,4] \). Lo que se deduce es que para que la composición pueda hacerse hemos de ceñirnos a los \( x\in dom(g) \) tales que \(  g(x)\in [7/8,4] \), es decir,

\( dom(h)=\{x\in dom(g)|g(x)\in [7/8,4]\} \)

y hmendez ha mostrado que tal conjunto resulta ser el intervalo \( (-1/2,3/2]. \)

Saludos.