[rosinn]

Hola, tengo un problema que no se resolver.
Dados \( z_1 , z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) tal que \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right | \) y \( z_1+z_2+z_3=0 \) demostrar que definen un triangulo equilátero.

He tratado de probarlo de la siguiente manera:
Sabemos que como tienen el mismo módulo, los 3 están en el borde del disco de centro 0 y radio módulo de z. He tratado de ver que los lados que definen son todos iguales, es decir, \( \left |{z_1-z_2}\right |=\left |{z_2-z_3}\right |=\left |{z_3-z_1}\right | \), tomando la notación \( z_{1,2,3}=a_{1,2,3}+b_{1,2,3}i \) y realizando las cuentas para ver que son iguales, pero no consigo llegar a probar las igualdades.

Gracias¡

[Fernando Revilla]

Dados \( z_1 , z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) tal que \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right | \) y \( z_1+z_2+z_3=0 \) demostrar que definen un triangulo equilátero.

Llamemos \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=a>0 \). De \( z_1+z_2=-z_3 \) se deduce \( \left |{z_1+z_2}\right |^2=\left |{z_3}\right |^2 \) y operando, \( z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}=-a^2. \) Por otra parte \( |z_1|^2+|z_2|^2-z_1\bar{z_2}-z_2\bar{z_1}=|z_1-z_2|^2=3a^2 \) y por tanto, \( |z_1-z_2|=\sqrt{3}a \).

Análogamente, \( |z_2-z_3|=|z_3-z_1|=\sqrt{3}a. \)

Más detallado aquí:

        https://fernandorevilla.es/2024/04/15/vertices-de-un-triangulo-equilatero/.