[sergiowaitforit]

Buenas tardes.

Estoy resolviendo un ejercicio de variable compleja en el que tengo que encontrar el residuo de \( f(z)=\dfrac{(z+1)^3}{(z-1)^3} \) en el punto \( z=1 \).

Aplicando directamente la fórmula del residuo, llego a que el residuo es 6, lo que creo que es correcto.

Ahora me gustaría desarrollar la función propuesta en serie de Laurent, para tomar el valor \( C_{k=-1} \) como resultado (que debería dar lo mismo), pero no lo consigo.

A ver si alguien me puede echar una mano. Muchas gracias.

[Abdulai]

\( \left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^3=\left(\dfrac{z-1+2}{z-1}\right)^3=\left(1+\dfrac{2}{z-1}\right)^3 \)
Aplicando: \( (1+w)^3=1+3w+3w^2+w^3\;\;\longrightarrow\;\; 1+\dfrac{6}{z-1}+\dfrac{12}{(z-1)^2}+\dfrac{8}{(z-1)^3} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes.

Estoy resolviendo un ejercicio de variable compleja en el que tengo que encontrar el residuo de \( f(z)=\dfrac{(z+1)^3}{(z-1)^3} \) en el punto \( z=1 \).

Aplicando directamente la fórmula del residuo, llego a que el residuo es 6, lo que creo que es correcto.

Ahora me gustaría desarrollar la función propuesta en serie de Laurent, para tomar el valor \( C_{k=-1} \) como resultado (que debería dar lo mismo), pero no lo consigo.

Aunque es prácticamente lo mismo que hace Abdulai, es cómodo en estos casos centrar la función en el punto donde calculamos el residuo con un cambio de variable. Si queremos trabajar en \( z=z_0 \) hacemos \( z-z_0=w \), es decir, \( z=w+z_0 \). En este caso:

\( f(z)=f(w+1)=\dfrac{(w+2)^3}{w^3}=\dfrac{w^3+6w^2+12w+8}{w^3}=1+\color{red}6\color{black}w^{-1}+12w^{-2}+8w^{-3} \)

Saludos.

[sergiowaitforit]

Muchísimas gracias. Lo hacéis parecer todo super fácil.

A partir de vuestro desarrollo ¿Se podría sacar la formula compacta del desarrollo en serie?

¡Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

A partir de vuestro desarrollo ¿Se podría sacar la formula compacta del desarrollo en serie?

No estoy seguro de a que te refieres con la "fórmula compacta del desarrollo en serie".

Saludos.

[sergiowaitforit]

Hola Luis, disculpa.

Me refería a si se puede escribir de la forma \( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}(c_k)(z-z_0) \).

Por otro lado, ahora calculando la integral \( \displaystyle\int_{C}\dfrac{8z^{7}}{z^{8}-1}\, dz \) donde C es la curva parametrizada por \( z=2e^{it} \) para \( 0\leq{t}\leq{2\pi} \). Aplicar la directamente la fórmula para calcular los residuos de los 8 polos me parece imposible. ¿Se podría aquí calcular el desarrollo en serie y de ahí sacar los residuos?

Creo que me estoy liando.

[Fernando Revilla]

Me refería a si se puede escribir de la forma \( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}(c_k)(z-z_0) \).

Si te refieres a la forma \( \displaystyle\sum_{-\infty}^{\infty}c_k(z-1)^n \), ya te la han escrito:

    \( \ldots +0+0+\ldots +\displaystyle\frac{8}{(z-1)^3}+\frac{12}{(z-1)^2}+\frac{6}{z-1}+1+0+0+\ldots \)

Por otro lado, ahora calculando la integral \( \displaystyle\int_{C}\dfrac{8z^{7}}{z^{8}-1}\, dz \) donde C es la curva parametrizada por \( z=2e^{it} \) para \( 0\leq{t}\leq{2\pi} \). Aplicar la directamente la fórmula para calcular los residuos de los 8 polos me parece imposible. ¿Se podría aquí calcular el desarrollo en serie y de ahí sacar los residuos? Creo que me estoy liando.

Aquí lo mejor es aplicar el Principio del argumento. Entonces,

    \( \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f^\prime (z)}{f(z)}dz=N-P\Rightarrow \displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{8z^7}{z^8-1}dz=2\pi i (8-0)=16\pi i. \)

[Fernando Revilla]

   Por si a alguien le interesa he redactado la demostración del Principio del argumento y su aplicación al último problema propuesto en este hilo.

    https://fernandorevilla.es/2024/02/07/principio-del-argumento/