Definición: Un
sistema algebraico es una \( (k+l+m+1) \)-tupla
\( (S,F_1, F_2, \cdots, F_k, R_1, R_2, \cdots, R_l, a_1, a_2, \cdots, a_m) \)
tal que:
- \( S \) es un conjunto no vacío.
- Cada \( F_i \) es una aplicación de \( S^{r_i} \) en \( S \) para ciertos naturales \( r_i \).
- Cada \( W_i \) es una relación (tal vez no binaria) en \( S \), es decir, \( W_i \subset S^{t_i} \) para ciertos naturales \( t_i \).
- Cada \( a_i \) es un elemento de \( S \).
Definición: Dos sistemas algebraicos
\( (S,F_1, F_2, \cdots, F_k, R_1, R_2, \cdots, R_l, a_1, a_2, \cdots, a_m) \)
y
\( (S,F'_1, F'_2, \cdots, F'_{k'}, R'_1, R'_2, \cdots, R'_{l'}, a'_1, a'_2, \cdots, a'_{m'}) \)
son
isomorfos si se cumplen:
- \( k=k', l=l' \) y \( m=m' \)
- Existen biyecciones \( f:\{1, \cdots, k\} \rightarrow \{1, \cdots, k\}, g:\{1, \cdots, l\} \rightarrow \{1, \cdots, l\} \) tales que \( F_i \) y \( F'_{f(i)} \) tienen el mismo número de argumentos, es decir, si el dominio de \( F_i \) es \( S^{r_i} \), entonces el de \( F'_{f(i)} \) es \( (S')^{r_i} \) y análogamente para \( R_j \) y \( R'_{g(j)} \).
- Existe una aplicación biyectiva \( G: S \rightarrow S' \) tal que:
- \( G(a_i)=a'_i \) para cada \( i=1, \cdots, m \)
- Para cada \( R_i \) se cumple que \( (x_1, x_2, \cdots, x_{t_i}) \in R_i \) si, y solo si, \( (G(x_1), G(x_2), \cdots, G(x_{t_i})) \in R'_{g(i)} \).
- Para cada \( F_i \) se cumple que \( G(F_i(x_1, \cdots, x_{r_i}))=F'_{f(i)}(G(x_1), \cdots, G(x_{r_i})) \).
Si los sistemas cumplen únicamente los dos primeros puntos se dice que son del
mismo tipo.
Definición: Dados dos sistemas como en la definición de antes y del mismo tipo, se dice que el primero
extiende al segundo si se cumplen:
- \( S' \subset S \)
- \( a_i = a'_i \) para cada \( i=1, \cdots, m \) (tras una posible reordenación de las segundas).
- \( R_j|_{(S')^{t_j}} = R'_{g(j)} \) para cada \( j=1, \cdots, l \).
- \( F_i|_{(S')^{r_i}} = F'_{f(i)} \) para cada \( i=1, \cdots, k \).
