Hola,
Tengo la siguiente afirmación en los apuntes:
Sea \(\sum_n f_n\) una serie de funciones definida en un conjunto \(A\in \mathbb{R}\). Supongamos que para todo \(n\in \mathbb{N}\) existe \(M_n\in \mathbb{R}\) tal que para todo \(x\in A\)
\(|f_n(x)|\leq M_n\)
Si la serie numérica \(\sum_n M_n\) es convergente, entonces la serie de funciones \(\sum_n f_n\) converge uniformemente en \(A\).
Basta que exista un \(n_0\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(n>n_0\) se cumpla eso, porque los términos de la suma parcial \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n_0} f_n\) modifican el valor de la serie pero no el carácter. No sé por qué ha saltado ese matiz, pero ¿supongo que lo da por sobreentendido?
Gracias,
Saludos.
