Te podría contestar a los dos preguntas si explicases que es cada cosa en la fórmula que define la espiral.
Perdona que no lo haya hecho, pero creí que estaba bastante claro en el artículo que publiqué. Pero por si no lo has leído, te lo aclaro:
T es un tiempo constante, el mismo para toda la curva, y es el tiempo que un planeta determinado tarda en realizar una órbita completa a una distancia base. En el gráfico, sería el primer planeta. En la curva, ese planeta estaría situado justo donde se cruza por primera vez el eje vertical del dibujo.
M es la masa de la estrella alrededor de la cual orbitan los planetas.
G es la Constante de Gravitación Universal
d es la distancia de un planeta cualquiera a la estrella
Y el resultado,
A es el ángulo de la órbita que ha recorrido cada planeta.
... intuitivamente, si la espiral da infinitas vueltas y el radio ínfimo de las vueltas es positivo entonces la longitud debe ser infinita.
No sé lo que es el
Radio Infimo, pero entiendo que una sucesión infinita de vueltas cada vez más pequeñas no tiene que tener, necesariamente, una longitud infinita. Una espiral logarítmica, por ejemplo, da infinitas vueltas hacia dentro, pero su longitud es finita, igual a \( L=\frac{R}{cos(90-G)} \).
Te lo explico, la
Longitud de una
Espiral Logarítmica, desde un punto determinado hacia adentro, es igual al
Radio de ese punto dividido entre el coseno del ángulo complementario del
Grado de la espiral.
Pero en esta curva no sé si infinitas vueltas hacia adentro se traducirá en una longitud infinita o finita.
Y mis conocimientos matemáticos son apenas suficientes para combinar fórmulas y despejar variables, no conozco herramientas matemáticas que me permitan averiguarlo.
Para la segunda parte, de nuevo intuitivamente, una curva con una fórmula sencilla (como parece ser ésta) seguramente tenga una convexidad permanente y decreciente a cero en tanto nos movemos hacia fuera de la espiral. Entonces habría que ver si al movernos hacia fuera por la espiral la curva tiende a un punto concreto del espacio o, por el contrario, sigue girando indefinidamente.
Debido a que la fórmula está basada en el movimiento de los planetas alrededor de una estrella, la curva hacia fuera nunca podrá atravesar el eje del dibujo. Tiende a la línea recta a una distancia infinitesimal del eje, pero no lo alcanzará hasta que tenga una longitud infinita.
Lo que yo me preguntaba es si la curva, que siempre está girando hacia la derecha, en algún momento cambiaba y se desviaba a la izquierda.
Hasta esta mañana yo pensaba que no, que la curva sería como una espiral logarítmica de grado creciente, tendiendo a 0 (circunferencia) hacia dentro y a 90 (radio) hacia fuera, pero sin llegar a alcanzarlos nunca.
Pero entre que me he despertado y me he levantado he estado un rato dándole vueltas al tema y me he dado cuenta de que no es posible, que si la curva, tal como se ve en el dibujo, se acerca al eje, y luego nunca lo alcanza, en algún momento DEBE girar a la izquierda, en cuyo caso su grado sería mayor que 90.
No lo sé, aún me falta madurar esto un poco, por eso os pido ayuda de vez en cuando.
Gracias.
