Autor Tema: ¿Qué es lo correcto?

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27 Marzo, 2021, 03:27 pm
Respuesta #720

robinlambada

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A todos cuantos afirman que la conjetura de Fermat es falsa para números reales, les ruego por favor que me digan y concreten a qué clase de números reales se refieren.

Gracias y saludos.
Ya te respondí hace poco a esa pregunta en el mensaje 662
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=89873.msg461635#msg461635
Cita de: robinlambada
Se ignora -yo al menos lo ignoro- si Pierre de Fermat era consciente de que su conjetura es falsa para números reales. Pero, dada la categoría de Fermat como matemático, apuesto porque lo sabía.
Dado arbitrariamente un valor cualquiera a \( x \) e \( y \) se obtiene \( z \), sin más que sustituir en  \( z=\sqrt[ n]{x^n+y^n} \)
En el que solo hay que despejar por ejemplo la variable z:
 
Dando  un valor  a \( x \) e \( y \) se obtiene \( z \), sin más que sustituir en  \( z=\sqrt[ n]{x^n+y^n} \)

Hay infinitas soluciones irracionales a la ecuación, una de ellas es para \( x=1 \), \( y=2 \), \( z=\sqrt[3]{9} \) y \(  n=3 \)
Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

29 Marzo, 2021, 09:01 am
Respuesta #721

minette

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Hola

Perdona mi pesadez. Lo que quiero es esto:

De mi respuesta 712:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?  Positivo \)

esta línea está bien; o está mal por esto y por esto.

Otra línea y etcétera.

Saludos.

29 Marzo, 2021, 10:20 am
Respuesta #722

robinlambada

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Hola

Perdona mi pesadez. Lo que quiero es esto:

De mi respuesta 712:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?  Positivo \)

esta línea está bien; o está mal por esto y por esto.

Otra línea y etcétera.


Saludos.

La conclusión está mal, es decir:
Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \)  al segundo miembro positivo entero o no entero .

Ademas Luis te lo muestra con un ejemplo concreto que puso en el Spoiler en la respuesta 713 justo la inmediata a la tuya. Te lo muestro de nuevo.

P.D. También puedes ver que para \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,\color{red}n=1 \) se cumple la igualdad, y por tanto en ningún caso puede estar bien un argumento como el que intentabas para probar que no puede darse esa igualdad.
Si te hubieras molestado en comprobar el contra-ejemplo que te puso Luis ( aunque tiene una pequeña errara, se sobreentiende que es n=3), te habrías y le habrías ahorrado a Luis mucha perdida de tiempo.

Solo tienes que sustituir \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,n=3 \) en tu expresión para comprobar que tu conclusión es falsa ( el porque ya te lo dijo en el mensaje 713)

Espero que hagas la comprobación antes de postear el siguiente mensaje, en vez de insistir tanto en que todo se te de a tu gusto ( como lo que marque en negrita en tu 1ª cita) y poner en duda casi todo lo que se te dice , pidiendo y pidiendo más explicaciones innecesarias, entre otras, cuando y como se usa el carácter entero en otras demostraciones, que por qué  no es valido el teorema de Fermat para reales y para que tipo de reales, para cada paso en tus expresiones te digamos que esta bien y mal y porque..............

Parece que el que tiene que demostrar (y además de forma demasiado detallada por tu parte) que estas equivocado es Luis, y el que expone su trabajo para ser juzgado eres tú

En todo caso el que podría explicar linea por linea cada paso de su argumentación si quieres que se te entienda bien serías tu, que no se te pide en el foro. Independientemente de que Luis o cualquier otro forero te diga paso por paso que tienes bien y mal y por que, deberías plantearte hasta que punto estas en posición de pedir cuando no consideras ni atiendes lo suficiente a lo que se te dice incluso cuando se te reitera por activa y pasiva muchas veces.

Si realmente quieres ver si tu conclusión esta mal es tan fácil como hacer la comprobación del contra-ejemplo. \( a=1, b=2, c^3=9, x_0=3, y_0=1,n=3 \)

Si realmente no entiendes algo que se te dice, lo ideal es que preguntes que no entiendes de lo que se te ha dicho, no que pidas que se te vuelva a justificar lo que ya se te ha justificado.

Saludos.

P.D.:Espero que entiendas esto como lo que pretende ser, una crítica constructiva.

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29 Marzo, 2021, 04:10 pm
Respuesta #723

Luis Fuentes

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Hola

 Esto empieza a ser un poco surrealista...  :D

Perdona mi pesadez. Lo que quiero es esto:

De mi respuesta 712:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?  Positivo \)

esta línea está bien; o está mal por esto y por esto.

 Te lo acaba de volver a decir robinlambada y voy a la carga otra vez...
 
 A ver si es cuestión de letra muy pequeña:

Todas las líneas están bien. EXCEPTO LA CONCLUSIÓN.

Todo bien, menos la siguiente frase que está mal:

Conclusión: El primer miembro de (1) es negativo \( \neq \)  al segundo miembro positivo entero o no entero .

El motivo es este:

Lo que haces es tener en cuenta que:

\( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}=
-\dfrac{1}{2y_0b^{2n-1}}\underbrace{\left(\dfrac{c^n}{2a^n}-1\right)}_U+\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}}\underbrace{\left(1-\dfrac{c^n}{2b^n}\right)}_W \)

Es cierto que \( U>W \), pero no puedes deducir por ello que la expresión anterior sea negativa ya que todavía \( U \) está multiplicado por \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}} \) y \( V \) por \( \dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \), donde \( \dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}<\dfrac{1}{2x_0a^{2n-1}} \)

Saludos.

P.D. Gracias por fijarte en la errata robinlambada. Ya la he corregido.

30 Marzo, 2021, 12:29 pm
Respuesta #724

minette

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Hola Luis

En el spoiler de tu respuesta 713, \( x_0 \) debe ser negativo.

Saludos.

30 Marzo, 2021, 12:49 pm
Respuesta #725

Luis Fuentes

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Hola

En el spoiler de tu respuesta 713, \( x_0 \) debe ser negativo.

No. Tu comienzas así:

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)  (1)

Estamos ante una ecuación diofántica. Y siendo \( a^{n-1} \), \(  b^{n-1} \)  primos entre sí, su \( m.c.d  \) es 1. Esta ecuación tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \) . Por la identidad de Bèzout: \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) . Siendo \(  b>a\rightarrow x_{0}>y_{0} \)  (valores absolutos). Entonces uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo para que se cumpla Bèzout.

\( \frac{x_{0}=negativo; y_{0}=positivo}{a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n}} \)

Hasta aquí es cierto que pretendes trabajar con un \( x_0 \) negativo. Pero después escribes:
 
Citar
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtiene así:

\( x=\color{red}(-x_{0})\color{black}c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Le pones delante un signo menos al \( x_0  \)y por tanto pasa a ser positivo. De ahí que te quede:

\( K=\dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)

Es decir, si trabajas con:
 
\( x_0a^{n-1}+y_0b^{n-1}=1 \) \( x_0 \) negativo e \( y_0 \) positivo

en realidad te quedaría:

\( x=x_{0}c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\dfrac{-x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 
\( y=y_{0}c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

y de ahí analizar: \( \dfrac{-x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \).  (1)

Si trabajas con:

\( -x_0a^{n-1}+y_0b^{n-1}=1 \) \( x_0 \) positivo e \( y_0 \) positivo

te queda:

\( x=-x_{0}c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K=\dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 
\( y=y_{0}c^{n}-Ka^{n-1}=b\rightarrow K=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

y de ahí analizar: \( \dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \).  (2)

Tu al final te decantas por analizar (2) y por eso trabajas con \( x_0,y_0>0 \).  Mi ejemplo encaja en esa situación.

Saludos.

30 Marzo, 2021, 12:56 pm
Respuesta #726

minette

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Hola Luis

En cuantos libros de matemáticas que he leido, cuando tratan de las ecuaciones diofánticas, todos se refieren a enteros.

Tú afirmas que también pueden ser reales. Yo te pido que cumpliendo el carácter eminéntemente didáctico de Rincon Matemático trates de explicar las ecuaciones diofánticas con números reales.

Saludos.

30 Marzo, 2021, 01:20 pm
Respuesta #727

Luis Fuentes

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Hola

Tú afirmas que también pueden ser reales. Yo te pido que cumpliendo el carácter eminéntemente didáctico de Rincon Matemático trates de explicar las ecuaciones diofánticas con números reales.

Cuando a mis alumnos les explico algo; toman apuntes, hago referencia a libros y/o a notas que les he suministrado. Sobre ellos preguntan las dudas: mira Luis en este párrafo de aquí no entiendo esto; aquí pone esto otro, yo lo interpreto así, pero no coincide con aquello que dijiste aquí...

En tu caso, robinlambada, Carlos Ivorra, feriva, y yo te hemos escrito líneas y líneas para intentarte explicar los matices sobre una ecuación y considerar sus soluciones enteras o reales; pero tu lejos de preguntar sobre párrafos concretos de nuestras explicaciones, repites una y otra vez la pregunta como si no te hubiéramos explicado nada. No haces referencia a detalles que no hayas entendido; o a como lo interpretas tú. Sino que partes de cero cada vez.

Es muy difícil ser didáctico así, francamente.

Simplemente dada cualquier ecuación, por ejemplo, \( 2x^2+3y^2=1 \), uno puede plantearse:

1) ¿Tiene soluciones entre los números reales?.

2) ¿Tiene soluciones entre los números enteros?.

En el segundo caso se dice que la estamos considerando como ecuación diofántica.

Para analizar cualquiera de las dos posibilidades uno puede hacer manipulaciones que son válidas en ambos casos. Por ejemplo para la ecuación que dije:

\( 2x^2+3y^2=1 \)

equivale a:

\( 2x^2=1-3y^2 \)

equivale a:

\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2} \)

Como \( y^2\geq 0 \) se tiene que:

\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2}\leq \dfrac{1}{2} \)

Es decir tanto para si trabajamos en los reales como en los enteros, sabemos que si existe alguna solución, la variable \( x \) tiene que cumplir \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \).

Ahora si particularizo para \( x \) entero, sabemos que el único número entero que cumple \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) es \( x=0 \). Pero si \( x=0 \) y \( 2x^2+3y^2=1 \) tendríamos \( 3y^2=1 \), es decir, \( y^2=1/3 \). Pero no existe ningún número entero cumpliendo \( y^2=1/3 \). Por tanto no existen soluciones en los enteros.

Entonces hemos visto que como ecuación diofántica \( 2x^2+3y^2=1 \) no tiene soluciones. En la demostración he usado algunos pasos que son válidos tanto para enteros como para reales; y al final un paso que SOLO es válido para enteros.

Por otra parte la ecuación  \( 2x^2+3y^2=1 \) SI tiene soluciones en los reales. Por ejemplo \( x=1/2 \) e \( y=\sqrt{1/6} \).

Entonces si yo en la demostración de que como ecuación diofántica no tiene soluciones NO hubiese usado en algún sitio algún argumento SOLO válido para ENTEROS, sería un síntoma de que la demostración tiene algún error. El caso es que no ha sido si, y si hemos usado un paso donde es decisivo que las variables sean enteras: que el único número cumpliendo \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) sea el cero, es cierto para enteros pero no para reales.

Saludos.

30 Marzo, 2021, 06:48 pm
Respuesta #728

minette

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Hola Luis

Creo que no me has entendido.

Dime por favor en que respuestas de robinlambada, Carlos Ivorra o feriva se explican las ecuaciones diofánticas con números reales.

Cuando pongo en la barra Google rincón matematico y pincho en https://www.rinconmatematico.com  me sale el Menú principal y al pinchar en éste Foros y en Información General: Teoría de números me sale enseguida: Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \); Iniciado por Luis Fuentes.
Inicias así el hilo: Dados dos números naturales \( a,b \) si \( d=m.c.d \) \( (a,b) \) es su máximo común divisor, existen enteros \( x \), \( y \) tales que:
\( ax+by=d \). Etcétera

Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.

Saludos.

30 Marzo, 2021, 07:49 pm
Respuesta #729

robinlambada

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Hola Luis

Creo que no me has entendido.

Dime por favor en que respuestas de robinlambada, Carlos Ivorra o feriva se explican las ecuaciones diofánticas con números reales.

Cuando pongo en la barra Google rincón matematico y pincho en https://www.rinconmatematico.com  me sale el Menú principal y al pinchar en éste Foros y en Información General: Teoría de números me sale enseguida: Ecuación diofántica lineal: \( ax+by=c \); Iniciado por Luis Fuentes.
Inicias así el hilo: Dados dos números naturales \( a,b \) si \( d=m.c.d \) \( (a,b) \) es su máximo común divisor, existen enteros \( x \), \( y \) tales que:
\( ax+by=d \). Etcétera

Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.

Saludos.

Las ecuaciones diofánticas son ecuaciones normales con la única condición que solo nos interesan sus soluciones enteras, si se explicaran con con números reales no enteros, dejarían de llamarse diofánticas
Fíjate en el término casa ( equivale a ecuación) y rosa ( equivale a diofántica)

Tu pregunta es:....Dime en que construcciones robinlambada, Carlos Ivorra o feriva  en casas rosas las tratan como azules.
Citar
Pues bien, Luis, lo que no encuentro, por ningún lado, es lo mismo pero para números reales.
Ni lo has encontrado ni lo encontrarás pues no hay casas rosas que sean azules.
Esto implicitamente ó explicitamente se te ha explicado muchas veces, pero haces oídos sordos como en tantas otras cosas.

Te ruego que respondas a esta pregunta
¿Podriás decirnos  que esta mal (si lo hay ) en este argumento que te da Luis?
Simplemente dada cualquier ecuación, por ejemplo, \( 2x^2+3y^2=1 \), uno puede plantearse:

1) ¿Tiene soluciones entre los números reales?.

2) ¿Tiene soluciones entre los números enteros?.

En el segundo caso se dice que la estamos considerando como ecuación diofántica.

Para analizar cualquiera de las dos posibilidades uno puede hacer manipulaciones que son válidas en ambos casos. Por ejemplo para la ecuación que dije:

\( 2x^2+3y^2=1 \)

equivale a:

\( 2x^2=1-3y^2 \)

equivale a:

\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2} \)

Como \( y^2\geq 0 \) se tiene que:

\( x^2=\dfrac{1-3y^2}{2}\leq \dfrac{1}{2} \)

Es decir tanto para si trabajamos en los reales como en los enteros, sabemos que si existe alguna solución, la variable \( x \) tiene que cumplir \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \).

Ahora si particularizo para \( x \) entero, sabemos que el único número entero que cumple \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) es \( x=0 \). Pero si \( x=0 \) y \( 2x^2+3y^2=1 \) tendríamos \( 3y^2=1 \), es decir, \( y^2=1/3 \). Pero no existe ningún número entero cumpliendo \( y^2=1/3 \). Por tanto no existen soluciones en los enteros.

Entonces hemos visto que como ecuación diofántica \( 2x^2+3y^2=1 \) no tiene soluciones. En la demostración he usado algunos pasos que son válidos tanto para enteros como para reales; y al final un paso que SOLO es válido para enteros.

Por otra parte la ecuación  \( 2x^2+3y^2=1 \) SI tiene soluciones en los reales. Por ejemplo \( x=1/2 \) e \( y=\sqrt{1/6} \).

Entonces si yo en la demostración de que como ecuación diofántica no tiene soluciones NO hubiese usado en algún sitio algún argumento SOLO válido para ENTEROS, sería un síntoma de que la demostración tiene algún error. El caso es que no ha sido si, y si hemos usado un paso donde es decisivo que las variables sean enteras: que el único número cumpliendo \( x^2\leq \dfrac{1}{2} \) sea el cero, es cierto para enteros pero no para reales.

Saludos.

Da toda la sensación de que lo más importante no es aprender de este hilo sino evitar dar la razón a quien te muestra continuamente que la lleva, no paras de inventar situaciones totalmente tangenciales y demandar.... y ahora pido doble vuelta pero con con tirabuzón, luego con tirabuzón invertido...., pero has dado con un acróbata de las matemáticas con muchísima paciencia.

Sobre la crítica que te hice, para que vas a opinar.

Pero si realmente quieres aprender algo, no deberías de cuestionar todo lo que se te dice y pedir mil explicaciones sobre esto, aquello y lo de más alla.

Por ello y para que puedas avanzar en tu demostración es esencial que respondas a mi pregunta
¿Podriás decirnos  qué esta mal (si lo hay ) en el argumento que te da Luis que he citado?(*)

Saludos.

P.D.: (*) Me conformo con que nos digas solo que está mal , pero si lo prefieres puedes ir linea por linea diciendo que esta mal y porque,  que esta bien y porque.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.