[Cronos]

1) Sea el conjunto G de las matrices cuadradas de orden 2 sobre \( \mathbb{R} \) con la suma ordinaria de matrices.
    Probar que G no es cíclico.

2) Sean \( C_n \) y \( C_m \) grupos cíclicos de órdenes n y m, respectivamente. Pruebe que \( C_n\times{C_m} \) es un grupo cíclio si y sólo sí mcd(n,m)=1

3) Probar que un grupo NUNCA es unión de dos subgrupos propios.

4) Los grupos que aparecen en el ejercicio se entienden como subgrupos de \( (\mathbb{Q},+) \). Sean a,b,m,n\( \in{\mathbb{Z}} \) con 1= mcd(a,m)=mcd(b,n),   d= mcd(a,b) y e=mcm(m,n). Probar que
  -      \( \left<{1/a,1/b}\right>=\left<{d/(ab)}\right> \)
  -      \( \left<{a/m,b/n}\right>=\left<{d/e}\right> \)
  -      Todo subgrupo de \( \mathbb{Q} \) finitamente generado es cíclico.

5) Probar que un grupo es finito si y sólo si contiene un número finito de subgrupos. Me dan una indicación de que lo pruebe primero para grupos cíclicos, no sé si facilitará la explicación.


Un abrazo!

[Jorge klan]

Hola

1) Supón que \( M_{2}(\mathbb{R}) \) es cíclico, luego, existe \( A\in M_{2}(\mathbb{R}) \) tal que

\( \langle A\rangle=\{nA\;|\;n\in \mathbb{Z}\}=M_{2}(\mathbb{R})\} \)

¿es esto posible? razona por qué no.

NOTA: \( \mathbb{R} \) no es cíclico.

2) ¿Tienes conocimientos de isomorfismos?

3) Procederé por el absurdo. Supongamos que \( G=H\cup K \), donde \( H \) y \( K  \) son subgrupos propios de \( G \). Nota que, existen \( h\in H \) y \( k\in K \) tales que \(  h\not \in K \) y \( k\not \in H \), pues en caso contrario \( G=H \) ó \( G=K \) (pero \( H \) y \( K \) son propios). Así tenemos que \( hk\in G \), luego \( hk\in H \) ó \( hk\in K \), es decir, \( k\in H \) ó \( h\in K \) lo cual es una contradicción.

4) y 5) lo puedes mirar en el ejercicio 16 del documento que adjunto

Saludos

[Jorge klan]

El (2) también lo puedes hacer del siguiente modo (si no tienes conocimientos de isomorfismos):

\( \Leftarrow{} \)) Como \( C_n \) y \( C_m \) son cíclicos, existen \( x\in C_{n} \) y \( z\in C_{m} \) tales que \( C_{n}=\langle x\rangle  \) y \( C_{m}=\langle z\rangle  \). Lo que probaré es que \( C_{n}\times C_{m}=\langle (x,z)\rangle \), para esto, basta probar que \( (x,z) \) tiene orden \( nm \). Pero recuerda que \( |(x,z)|=mcm(|x|,|z|)=mcm(n,m) \), luego, como \( mcd(n,m)=1 \) se tiene que \( mcm(n,m)=nm \).

\( \Rightarrow{} \)) Procederé por absurdo. Supongamos que \( C_{n}\times C_{m} \) es cíclico y \( mcd(n,m)=d>1 \), luego, como \( d|n \) existe \( H \) subgrupo de \( C_{n} \) tal que \( |H|=d \) y análogamente existe \( K \) subgrupo de \( C_{m} \) tal que \( |K|=d \). De este modo se tiene que \( C_{n}\times C_{m} \) tiene dos subgrupos distintos (este es el motivo de reelevante de que \( d>1 \)), \( H\times \{1\} \) y \( \{1\}\times K \), de orden \( d \), lo cual es una contradicción, pues  \( C_{n}\times C_{m} \) es cíclico

Saludos

[J. H. Stgo]

2) http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,33287.msg130920.html#msg130920