[Carlos piñeda]

Sea \( B=\left\{                      \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
-y & x
\end{array}
\right)   \in M_2(\mathbb{Z}_3)               \right\} \), demuestre que \( B \) es subcuerpo de \( M_2(\mathbb{Z}_3) \) y que \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es un grupo cíclico.

Buenas tardes, la primera parte ya la hice, estoy presentado problemas con la segunda parte, la del grupo cíclico. Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( B=\left\{                      \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
-y & x
\end{array}
\right)   \in M_2(\mathbb{Z}_3)               \right\} \), demuestre que \( B \) es subcuerpo de \( M_2(\mathbb{Z}_3) \) y que \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es un grupo cíclico.

Buenas tardes, la primera parte ya la hice, estoy presentado problemas con la segunda parte, la del grupo cíclico. Gracias de antemano.

Dado que \( det\begin{pmatrix}\hfill x&y\\ -y&x\\\end{pmatrix}=x^2+y^2 \) y esto sólo se anula en \( \mathbb{Z}_3 \) si \(  (x,y)=(0,0) \), entonces todos los elementos excepto el nulo son inversibles\( ^{(1)} \). Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).

Comprueba que uno de tales generadores es:

\( \begin{pmatrix}\hfill 1&1\\ -1&1\\\end{pmatrix} \)

Saludos.
\( ^{(1)} \) Aunque supongo que eso ya lo habías hecho al probar que es cuerpo.

[Carlos piñeda]

Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).

Muchas gracias Luis, pero no entiendo como se llega a esta conclusión

[Fernando Revilla]

Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).

Muchas gracias Luis, pero no entiendo como se llega a esta conclusión

Al dar a \( x \) y a \( y \) los valores \( 0,1,2 \) obtenemos \( 9 \) matrices del tipo \( \begin{bmatrix}\hfill x&y\\ -y&x\\\end{bmatrix} \) y quitando la nula, los \( 8 \) elementos de \( B^* \), por tanto si \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es grupo cíclico ha de tener algún elemento de orden \( 8 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).

Muchas gracias Luis, pero no entiendo como se llega a esta conclusión

Fíjate que ahí yo no afirmo que sea cíclico; todavía no lo se. Lo que afirmo es que si lo fuese (como sugiere el enunciado), necesariamente tiene que existir un elemento de orden \( 8 \) que lo genere y además que en un grupo cíclico de orden \( n \) hay tantos elementos generadores como elementos coprimos con \( n \). En este caso los coprimos con \( 8 \) son \( 1,3,5,7 \). Luego si realmente es cíclico habrá cuatro posible elementos de orden \( 8 \); nos basta con encontrar uno cualquiera de ellos.

Para encontrarlo: por ensayo/error. Si \( x=0 \) ó \( y=0 \) es muy fácil hacer las cuentas y ver que ninguno tiene orden \( 8 \). Así que el siguiente candidato ya es con las dos variables no nulas, \( x=1 \) e \( y=1 \). ¡Y bingo! (de hecho cualquiera con ambas variables no nulas valdría). De manera precisa, dado que en un grupo de orden \( 8 \) cualquier elemento distinto del neutro sólo puede tener orden \( 2,4 \) ó \( 8 \), basta comprobar que si tomamos:

\( A=\begin{pmatrix}\hfill 1&1\\ -1&1\\\end{pmatrix} \)

entonces \( A^2\neq Id \) y \( A^4\neq Id \).

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Por si ayuda en algo, un resultado más general dice que el grupo multiplicativo de cualquier cuerpo finito es cíclico. Pongo una demostración por si interesa.

Spoiler

Sea \( K \) un cuerpo finito de tamaño \( n+1 \). Por el teorema de clasificación de grupos abelianos finitos, su grupo multiplicativo es isomorfo a \( \mathbb{Z_{d_1}} \times{}...\times{}\mathbb{Z_{d_s}} \) con \( d_i|d_{i+1} \) y \( n=d_1\cdot{}...\cdot{}d_s \).

De aquí que para todo \( x\in{}K \) el orden \( r \) de \( x \) en el grupo multiplicativo divide a algún \( d_i \) y por tanto a \( d_s \). Por lo que la ecuación \( x^{d_s}=1 \) debe tener \( n \) soluciones diferentes (los elementos de \( K \) salvo su elemento nulo), por lo que debe ser \( d_s\geq{=}n \), pero como \( d_s|n \) la desigualdad también se cumple en sentido contrario. Por lo que el grupo multiplicativo de \( K \) ser \( Z_n \).

[cerrar]

Un saludo.

[Carlos piñeda]

Muchas gracias Fernando y Luis, me quedó clarito, y muchas gracias martiniano por el aporte, es bastante interesante