Hola
Gracias por la respuesta. Sí, me salen 26 grupos abelianos lo que no acabo de entenderlo del todo.
¿Por qué los grupos que escogemos de orden 12 son \( \mathbb{Z}_{12} \) y \( \mathbb{Z}_{6}\times{\mathbb{Z}_{2}} \) ?
Quiere decir que \( \mathbb{Z}_{12} \) es isomorfo con \( \mathbb{Z}_{4}\times{\mathbb{Z}_{3}} \) por ejemplo y en cambio no se produce un isomorfismo con \( \mathbb{Z}_{6}\times{\mathbb{Z}_{2}} \). Esto no lo acabo de ver.
En general si \( p \) y \( q \) son coprimos es muy fácil ver que \( \Bbb Z_{pq} \) es isomorofo a \( \Bbb Z_p\times \Bbb Z_q \). Basta definir:
\( f:\Bbb Z_{pq}\to \Bbb Z_p\times \Bbb Z_q,\quad f(n)=(n,n) \)
y ver que esa aplicación efectivamente es un isomorfismo de grupos.
El problema es cuando \( p \) y \( q \) NO son coprimos, entonces no es cierto que sea \( \Bbb Z_{pq} \) isomorofo a \( \Bbb Z_p\times \Bbb Z_q \).
Una forma rápido de verlo es tener en cuenta que el orden más alto de cualquier elemento de \( \Bbb Z_p\times \Bbb Z_q \) es \( m.c.m(p,q) \), ya que es un múltiplo común a los ordenes de los dos grupos que multiplicamos.
Como \( mcm(p,q)=\dfrac{pq}{mcd(p,q)} \) si NO son coprimos entonces \( mcm(p,q)<pq \) y es imposible que \( \Bbb Z_p\times \Bbb Z_q \) tenga un elemento de orden \( pq \) y por tanto no puede ser isomorfo a \( \Bbb Z_{pq} \).
Para ver esto de la una manera más completa lo mejor es analizar el Teorema de Clasificación de grupos finitos abelianos que te comentaba.
Saludos.
