Hola
Hola, estaba haciendo este ejercicio pero me trabé, queria ver si me podían dar una mano
1) Sea {\( X ={n \in{\mathbb{N} : n\leq{50}}} \)}. En \( P (X) \) se define la relación R de la forma
\( A R B \Leftrightarrow{A\triangle{B}} \) no contiene números múltiplos de 3.
Recuerda que la diferencia simétrica \( A\triangle{B} \) son los elementos de la unión que no están en la intersección. Por tanto dos conjuntos estarán relacionados si no tienen múltiplos de \( 3 \) diferentes; o dicho de otra manera estarán relacionados si tienen exactamente los mismos múltiplos de \( 3 \).
a) Decidir si \( R \) es antisimétrica
Fíjate que \( A\triangle{B}=B\triangle{A} \), luego claramente la relación es simétrica. Si además fuese simétrica entonces sólo habría a lo sumo elementos relacionados consigo mismo.
Pero toma por ejemplo \( A=\{1\} \) y \( B=\{2\} \).
b) Decidir si \( R \) es transitiva
Teniendo en cuenta lo que comenté al principio:
o dicho de otra manera estarán relacionados si tienen exactamente los mismos múltiplos de \( 3 \).claramente si es transitiva. Comprueba los detalles.
c) ¿ Cuántos conjuntos \( A \) que tengan exactamente 14 elementos cumplen que \( A R C \), con \( C = \{n \in{\mathbb{N}} : n\leq{25} \} \)?
Estarán relacionados con \( C \) todos los conjuntos que contengan los mismos múltiplos de \( 3 \) que éste. En \( C \) los múltiplos de \( 3 \) son OCHO (\( 1\leq 3k\leq 25 \)). Entonces un conjunto de \( 14 \) elementos relacionado con \( C \) necesariamente tiene esos ocho, y otros seis elementos escogidos entre NO múltiplos de \( 3 \). Hay 50-[50/3]=32 NO múltiplos de \( 3 \) en \( X \).
Por tanto se pueden escoger:
\( \displaystyle\binom{32}{6} \)
conjuntos con las características indicadas.
Saludos.
