[Elena Gutiérrez]

Hola buenas tardes, ¿alguien podría ayudarme a hacer este ejercicio? Muchas gracias.

Problema 1. Demostrando que dos matrices son iguales.

(1) Sea \( X\in {\cal M}_{n\times n}(\Bbb R) \) tal que \( X^2=X \). Demuestra que la matriz \( I+X \) es invertible y que \( (I+X)^{-1}=I-\dfrac{1}{2}X \).

(2) Sean \( A,B\in {\cal M}_{n\times n}(\Bbb R) \) tales que

                 \( A-AB=B^2 \) y \( B-BA=A^2 \).
   
      Demuestra que \( A=B \).

EDITADO DESDE LA MODERACION

[delmar]

Hola Elena Gutiérrez

Bienvenida al foro

Es conveniente que leas las reglas del foro, los enunciados de los problemas se digitan y las fórmulas se las escriben en LATEX, para mayor entendimiento y también se muestra el intento de resolver el problema, de esa manera se aprende mejor

1) Si \( (I+X) \) es invertible existe una matriz \( Y=(I+X)^{-1} \  / \ Y(I+X)=I \) entonces se ha de demostrar que \( (I-(\displaystyle\frac{1}{2})X) \ (I+X)=I \) Ec. 1, efectuando se llega a :

\( I(I+X)-(\displaystyle\frac{1}{2}) X(I+X)=(I+X)-(\displaystyle\frac{1}{2})X-(\displaystyle\frac{1}{2})X^2 \) en este punto sencillamente aplicar que \( X^2=X \) y continuar efectuando se ha de llegar a la Ec 1

2) Una ayuda multiplica por B por la izquierda la Ec 1 y por B por la derecha la Ec 2 y resta la segunda de la primera, se llega a :

\( BA-BAB=B^2 \)

\( B^2-BAB=BA^2 \)

Restando

\( BA-B^2=B^3-A^2B\Rightarrow{B(A-B)=(B^2-A^2)B} \) Ec 3

Multiplica por A por la derecha la Ec 1, por la izquierda la Ec 2

\( A^2-ABA=B^2A \)

\( AB-ABA=A^3 \)

Restando la segunda de la primera

\( A^2-AB=B^2A-A^3\Rightarrow{A(A-B)=(B^2-A^2)A} \) Ec 4

Resta la 3 de la 4 :

\( A(A-B)-B(A-B)=(B^2-A^2)A-(B^2-A^2)B\Rightarrow{(A-B)^2-(B^2-A^2)(A-B)}=O \)

Se sigue factorizando y se llega :

\( [(A-B)-(B^2-A^2)](A-B)=O \)

Esto se cumple si \( A-B=O\vee (A-B)-(B^2-A^2)=O \)

De ahí se puede proseguir y en efecto se demuestra que necesariamente \( A=B \)

Saludos

[Elena Gutiérrez]

Perdona, no tenia ni idea. Y muchísimas gracias   

[Luis Fuentes]

Hola

Se sigue factorizando y se llega :

\( [(A-B)-(B^2-A^2)](A-B)=O \)

Esto se cumple si \( A-B=O\vee (A-B)-(B^2-A^2)=O \)

Ojo, porque eso en principio no está bien. Que el producto de dos matrices sea cero, NO significa necesariamente que alguna de ellas sea cero. Por ejemplo:

\( \begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix} \)

Saludos.

[delmar]

Si Luis Fuentes una equivocación, en realidad se tiene que  :

\( [(A-B)-(B^2-A^2)] \ (A-B)=O \) implica que \( det \ (A-B)=0\vee det [(A-B)-(B^2-A^2)]=0  \) con sus implicancias respectivas; pero no es un camino claro a la solución

Saludos