[MichaelIRV]

Una fórmula para el cálculo de permutaciones circulares con elementos repetidos. Estoy llevando un curso de teoría de números, pero no he encontrado ningún libro o página que incluya una demostración para este caso.
¿Cómo sería la fórmula y su demostración? Agradecería que alguien pudiera recomendarme lecturas que incluyan lo anterior y qué conocimientos necesitaría para llegar a su demostración.
Gracias

[delmar]

Hola

Te muestro una resolución particular, que sirve para que se vislumbre la solución general.

Suponer que existen 4 sillas alrededor de una mesa circular, numerados 1,2,3,4 (dispuestas en forma horaria) y hay 4 personas distintas A,B,C, D que se sientan, en dichas sillas, uno en cada una, esto constituye un suceso aleatorio, determinado por una cuaterna ordenada, en donde el primer elemento es la persona que se sienta en la silla 1, el segundo el que se sienta en la silla 2, etc, se tendría por ejemplo como resultados (A,B,C,D), (C,D,B,A) ... es decir los resultados son permutaciones; pero en el caso que las cuaternas (A,B,C,D), (D,A,B,C), (C,D,A,B) y (B,C,D,A) se consideran como un mismo resultado (posiciones relativas entre las personas son las mismas, por ejemplo B siempre esta a lado de A en sentido horario, etc) en ese caso los resultados posibles son las permutaciones circulares y evidentemente el total T es : \( T=\displaystyle\frac{4!}{4} \) es el cociente entre el número permutaciones 4! y el número de cuaternas en que se conserva las posiciones relativas  4, se puede hacer un razonamiento general ya no para 4 sino para n
Cuando uno de los elementos se repite (2 españoles, 1 argentino y 1 peruano) hay que tener en cuenta que las cuaternas pedidas m están multiplicándose por las permutaciones de los elementos que se repiten es decir \( 2! \ m=T \)




Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Una fórmula para el cálculo de permutaciones circulares con elementos repetidos. Estoy llevando un curso de teoría de números, pero no he encontrado ningún libro o página que incluya una demostración para este caso.
¿Cómo sería la fórmula y su demostración? Agradecería que alguien pudiera recomendarme lecturas que incluyan lo anterior y qué conocimientos necesitaría para llegar a su demostración.

Una fórmula general para las permutaciones con repetición circulares es más delicada. Mira por ejemplo las páginas 181, y sucesivas de aquí:

https://www.uv.es/=Ivorra/Libros/Varcom.pdf

En la página 184 tienes la fórmula.

Saludos.

[MichaelIRV]

Sí consulté el libro de Ivorra, de hecho es el único que ofrece una demostración. Pero al ser un libro de variable compleja, el desarrollo no está enfocado en el análisis combinatorio, sino en una aplicación de la función de Mobius. Aún no he llevado un curso de variable compleja.
De igual manera, gracias por tu apoyo.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí consulté el libro de Ivorra, de hecho es el único que ofrece una demostración. Pero al ser un libro de variable compleja, el desarrollo no está enfocado en el análisis combinatorio, sino en una aplicación de la función de Mobius. Aún no he llevado un curso de variable compleja.
De igual manera, gracias por tu apoyo.

Pero la función de Möbius no es una función propia de la variable compleja. Aparece de manera natural en teoría de números y matemática discreta (¡combinatoria!). Se basa simplemente en la descomposición en primos de un número, es decir, en la divisibilidad; y en una fórmula como la que buscas el concepto de divisibilidad es decisivo.

Yo intentaría mirar la demostración que está escrita; después pregunta las dudas concretas que te surjan.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Sí consulté el libro de Ivorra, de hecho es el único que ofrece una demostración. Pero al ser un libro de variable compleja, el desarrollo no está enfocado en el análisis combinatorio, sino en una aplicación de la función de Mobius. Aún no he llevado un curso de variable compleja.
De igual manera, gracias por tu apoyo.

En efecto, como te ha dicho Luis, la demostración que aparece en mi libro no usa absolutamente nada de funciones de variable compleja. Sólo usa la fórmula de inversión de Möbius, que es posible que conozcas ya. Lo que sucede es que introduje en el libro el producto de convolución de funciones aritméticas y la fórmula de inversión para estudiar las series de Dirichlet (que son funciones de variable compleja), pero me pareció interesante añadir la aplicación a las permutaciones circulares, que no usa para nada las funciones de variable compleja.

Concretamente (supuesto que no sepas nada sobre funciones aritméticas y el producto de convolución):

1) Lee la definición 7.14 (donde, si quieres, puedes suponer que las funciones aritméticas toman valores en \( \mathbb R \) en lugar de en \( \mathbb C \)), luego te saltas el párrafo en el que las relaciona con las series de Dirichlet.

2) Lee la definición de función multiplicativa y completamente multiplicativa.

3) Pasa a la definición 7.18 de producto de convolución y las observaciones posteriores.

4) Sigue con los teoremas 7.19, 7.20, 7.21.

5) A continuación tienes que, como aplicación de 7.21, se cumple que \( \mu \) es la inversa de la función \( c_1 \), es decir, que \( \mu* c_1 = 1 \) (esto es la fórmula de inversión de Möbius, si la conoces ya, te puedes ahorrar casi todo lo anterior).

6) Luego tienes varios ejemplos de funciones aritméticas mezclados con series de Dirichlet. Sólo necesitas la definición de la función \( N \), luego la definición de \( \phi \) y la prueba de que \( \phi = N*\mu \).

7) Con eso ya puedes leer toda la sección 7.3.

La referencia [3] de la bibliografía es el artículo del que saqué la prueba.