[simpleimpar]

Hola
la ecuación \( 27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0 \) posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola
la ecuación \( 27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0 \) posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos

¿Y te parece que has ganado algo teniendo en cuenta la "barbaridad" de expresión qué te sale?. ¿Te parece más fácil de analizar que la simple ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)?.

Saludos.

[simpleimpar]

De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.
Todo el problema se reduce a demostrar, como tu ya has advertido, que la solución real de la ecuación en cuestión no puede ser entera. Quizá esto requiera un nivel superior de conocimientos en la materia (para demostrar en particular que la "barbaridad" resultante no es un entero).
Mis saludos cordiales.

[Luis Fuentes]

Hola

De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.

Pero es ficticio que tu ecuación tenga una incógnita. ¿Lo dices porque le llamas \( x \)?. Tu ecuación tiene tres variables \( x,a,\beta \), igual que la original. Puedes llamarle a une de ellas incógnita igual que podrías hacerlo en la original. No hay diferencia, salvo que la ecuación original es más sencilla que a la que has llegado tu.

Saludos.

[simpleimpar]

Continuando sobre el asunto.

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Será la última vez que insisto en esto; lo hago porque me parece que no acabas de entender lo que digo. La ecuación original también admite tratamientos "standard" y también tiene coeficientes que deben de cumplir desigualdades. El aspecto de la solución es amistoso; pero aun así no parece ayudar a discernir el carácter entero de la misma de forma directa:

\( m^3=a^3+b^3 \)

la solución es...

\( m=\sqrt[3]{a^3+b^3} \)  ¡qué expresíón más sencilla! 

Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Sobre ese "quizá"... poco que decir. Inténtalo si quieres; pero no veo ningún motivo objetivo para ser optimista.

Saludos.

[simpleimpar]

Me parece muy bien todo lo que dices Luis y no tengo nada que objetar. Trataré de seguir con mi manera de ver el asunto
Saludos cordialísimos por tanto interés.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola de nuevo
Aquí os envío un último intento de solución del caso n = 3 por si resulta de interés y es posible generalizarlo para todo exponente primo.
Saludos cordiales

Algunos errores:

1) En pagina 1, en la fórmula (4) pretendes deducir que:

\( 3(\alpha^2+\beta^2)+[3(\alpha+\beta)+1]/2 \) divisible por \( 2 \)

no es posible. Pero no es cierto. El error es que estás presuponiendo que el sumando \( [3(\alpha+\beta)+1]/2 \) tiene que ser impar lo cual obligaría al primero a ser también impar. Pero no hay ningún motivo para que ese cociente necesariamente tenga que ser impar.

2) En la página 2, de (6) tienes que:

\( a\left(a+m+\dfrac{m^2-ca}{c-m}\right) \)

es entero. De ahí pretendes deducir que \( \dfrac{m^2-ca}{c-m} \) es entero. Pero en realidad lo único que puedes decir en principio es que \( \dfrac{a(m^2-ca)}{c-m} \)es entero.

3) Este es el error más grave, en cuanto que es la parte más decisiva de tu intento de demostración.

En la página 3, dices:

\( b=\dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}}(m-a) \)

 Y de ahí afirmas que:

 - o bien \( (m-a) \) es divisor de \( b \)
 - o bien \( f^{1/3}-3g^{1/3} \) es divisor de \( m-a \)

 Eso no tiene porque ser así de nuevo: \( (m-a) \) podría tener algunos factores comunes con \( b \) y otros con el cociente \( \dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}} \)

 Más adelante del hecho de que \( b^3/(m-a) \) sea un cubo deduces que:

\( b^3=m^3a-a^3m \)

 Ahí me pierdo completamente. ¿De dónde sale eso?. Antes pones que:

\( \dfrac{m^3-a^3}{m-a}=ma(m+a) \)

pero eso está mal; es:

\( \dfrac{m^3-a^3}{m-a}=m^2+ma+a^2 \)

Saludos.

[simpleimpar]

Hola de nuevo
Antes que nada ruego me perdonéis una vez más los errores imjustificables que cometo en los sucesivos envíos sobre el asunto n =3. De nuevo agradezco las observaciones de Luis Fuentes que tan amablemente dedica su tiempo y paciencia a leerlos. En este envío me limito al caso de \( n=3 \) y \( b \) par de la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \). Espero que los errores no sean excesivos y se me indique donde están. En estos supuestos, creo que se puede probar que \( m-a \) es un cubo par, que \( 2^{1/3}a>m \) y que los valores posibles de \( b \) dado \( a \), para todo \( m-a \) posible, están limitados a \( (2^{1/3}-1)a \), con el resultado de que \( a^3+(2j)^3 \) para los valores permitidos de \( j \), es siempre mayor que \( a^3+[2^{1/3}-1]^3a^3 \) y por lo tanto no existe solución para la ecuación de Fermat con exponente 3 si \( b \) es par.
Saludos.

[simpleimpar]

Hola
Con el deseo de que esta nueva entrega no se convierta en el pasatiempo de los siete errores, me atrevo a someter a vuestra consideración una prueba de que la ecuación de Fermat con exponente 3 no tiene solución. El procedimiento está basado en la idea de que \( a^3+(b-1)^3<a^3+b^3<a^3+(b+1)^3 \) y puede ser generalizado directamente al caso \( n \) simple mayor que 3.
Saludos