Autor Tema: Problema de Cauchy, intervalo maximal, Gronwall.

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01 Junio, 2014, 02:26 am
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lindtaylor

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Sea el Problema de Cauchy \( \begin{Bmatrix} \dot x=-x+\mu \arctan(x)\\ x(0)=1\end{matrix} \)

a) Demuestre que el problema de Cauchy satisface las condiciones del Teorema de Picard.
Acá lo que hago es, \( f(x)=-x+\mu \arctan(x) \), y \( f'(x)=-1+\mu\frac{1}{1+x^2} \), entonces \( f \) es continuamente diferenciable en todo \( \mathbb{R} \) que es abierto, y además \( x(0)\in \mathbb{R} \), luego cumple las condiciones.

b) Demuestre que el intervalo maximal derecho de la solución es \( [0,+\infty) \) (Suponga que el intervalo maximl es \( [0,b). \)

c) Usando la desigualdad de Gronwall, demuestre que si \( |\mu|<1 \), entonces \( \lim_{t\to\infty} x(t)=0 \). (Use variación de parametros y que \( \arctan(x) \) es lipschitz con constante 1).

¿Cómo puedo resolver b y c? Yo pensaba en resolver y encontrar explícitamente \( x(t) \), pero veo que la integral que queda a resolver no es trivial, asi que creo que no va por ahí...
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