Autor Tema: Operadores lineales

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29 Mayo, 2014, 02:27 am
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aura

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Espero puedan ayudarme con la siguiente demostración.

¿Cómo puedo demostrar que el operador \( L[y](t) \) es lineal?

\( L[y](t)=\displaystyle\int_{a}^{t}s^2y(s)ds \)

29 Mayo, 2014, 10:57 pm
Respuesta #1

aura

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¿Algún hint o sugerencia por favor?

30 Mayo, 2014, 05:40 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Suponemos que estamos trabajando en el espacio vectorial real \( C(\mathbb{R}) \) de las funciones continuas de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R}. \)

Entonces, para todo \( y,z\in C(\mathbb{R}), \) para todo \( \alpha,\beta\in\mathbb{R} \) y para todo \( t\in \mathbb{R} \):

          \( \begin{aligned}L[\alpha y+\beta z](t)&=\displaystyle\int_{a}^{t}s^2(\alpha y+\beta z)(s)\;ds\\
&=\displaystyle\int_{a}^{t}s^2(\alpha y(s)+\beta z(s))\;ds\\
&=\alpha\displaystyle\int_{a}^{t}s^2y(s)\;ds+\beta \displaystyle\int_{a}^{t}s^2z(s)\;ds\\
&=\alpha L[y](t)+\beta L[z](t)\\
&=\left(\alpha L[y]+\beta L[z]\right)(t).
\end{aligned} \)

Por definición de igualdad de funciones:

          \( L[\alpha y+\beta z]=\alpha L[y]+\beta L[z] \)

es decir, el operador \( L:C(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R}) \) es lineal.

31 Mayo, 2014, 05:58 am
Respuesta #3

aura

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Muchas gracias Fernando!