Autor Tema: limites de integración en integral doble seno/coseno

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13 Abril, 2021, 12:25 pm
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follonic

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¿Cómo establecer los límites de integración para hallar el área entre \( f= sen(x) \) y \( g= cos(x) \) entre \( x= \pi /4 \) y \( 5 \pi /4 \) con este orden de integración:
\( \displaystyle \int\int  dx dy \) ?

Para el orden \( \displaystyle \int\int  dy xy \)es sencillo: \( \displaystyle \int_{\pi /4}^{5 \pi /4}\displaystyle\int_{cos (x)}^{sen (x)}dydx =2\sqrt{2} \)

Es un problema del Larson/Edwuadrs

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No pongas en una fórmula cada simbolito individualmente entre [tex]...[/tex], sino la fórmula completa. Es decir en lugar de:

 [tex]\int[/tex][tex]\int[/tex][tex]dy[/tex][tex]dx[/tex]            \( \int \)\( \int \)\( dy \)\( dx \)

escribe:

[tex]\int\int  dy dx[/tex]             \( \int\int  dy dx \)
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13 Abril, 2021, 02:16 pm
Respuesta #1

alexpglez

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Para abordar la integral por ese orden de integración, debes dividir el dominio en 3 trozos. Esto es porque [texx] \cos x [/texx] y [texx] \sin x [/texx] no son inyectivas.
Los trozos son [texx] y\in (\sqrt{2}/2,1) [/texx], [texx] y\in (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) [/texx], [texx] y\in (-1,-\sqrt{2}/2) [/texx]. Hazte un dibujo, porque con palabras es complicado de explicar.

Para el primer trozo, nota que si [texx] y\in (\sqrt{2}/2,1) [/texx], entonces [texx] x\in (x_1,x_2) [/texx], donde [texx] y=\sin x_1=\sin x_2 [/texx], [texx]x_1\leq x_2 [/texx] y [texx] x_1,x_2\in (\pi/4,3\pi/4) [/texx]. (Estas son las únicas soluciones como puedes ver en el dibujo)

Para el tercer trozo es similar: si [texx] y\in (-1,-\sqrt{2}/2) [/texx], entonces [texx] x\in (x_1,x_2) [/texx], donde [texx] y=\cos x_1=\cos x_2 [/texx], [texx]x_1\leq x_2 [/texx] y [texx] x_1,x_2\in (3\pi/4,5\pi/4) [/texx].

Para el segundo trozo [texx] y \in (-\sqrt{2}/2,+\sqrt{2}/2) [/texx] nota que las funciones:
$$ \cos:(\pi/4,3\pi/4)\longrightarrow (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) $$
$$ \sin:(3\pi/4,5\pi/4)\longrightarrow (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) $$
Son biyectivas y decrecientes. Coge las inversas [texx] \cos^{-1} [/texx] y [texx] \sin^{-1} [/texx] (estas funciones no son el arcocoseno ni el arcoseno usual, que se determinan por otra rama de inyectividad distinta, sin embargo serán iguales salvo un factor sumando constante). Entonces en este trozo:
$$ \cos x \leq y \leq \sin x \;\; \Longleftrightarrow \;\; \cos^{-1}y \leq x \leq \sin^{-1}y $$

Si no me he equivocado, esta sería la solución.

13 Abril, 2021, 10:48 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

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¿Cómo establecer los límites de integración para hallar el área entre \( f= sen(x) \) y \( g= cos(x) \) entre \( x= \pi /4 \) y \( 5 \pi /4 \) con este orden de integración:
\( \displaystyle \int\int  dx dy \) ?

Para el orden \( \displaystyle \int\int  dy xy \)es sencillo: \( \displaystyle \int_{\pi /4}^{5 \pi /4}\displaystyle\int_{cos (x)}^{sen (x)}dydx =2\sqrt{2} \)

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No pongas en una fórmula cada simbolito individualmente entre [tex]...[/tex], sino la fórmula completa. Es decir en lugar de:

 [tex]\int[/tex][tex]\int[/tex][tex]dy[/tex][tex]dx[/tex]            \( \int \)\( \int \)\( dy \)\( dx \)

escribe:

[tex]\int\int  dy dx[/tex]             \( \int\int  dy dx \)
[cerrar]

\( S=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \)
\( S=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{4}}^{\displaystyle\frac{5\pi}{4}}\left(-\cos x-x\sen x\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{5\pi}{4}}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\left(-\sen x+x\cos x\right) \)
Si la desarrollas te va a dar 2.828 que es casi lo mismo que tu respuesta

13 Abril, 2021, 10:51 pm
Respuesta #3

NoelAlmunia

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olvidé poner los diferenciales de x al final de cada integral.
Mediante esta integral curvilínea cerrada es posible encontrar el área encerrada entre cualquier curva siempre y cuando tomes el sentido antihorario. Las integrales de ese ejercicio son muy fáciles de resolver, las del seno y coseno salen directas y las del producto de x por el seno y coseno salen por integración por partes.

13 Abril, 2021, 10:55 pm
Respuesta #4

NoelAlmunia

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También olvidé aclarar que la primera integral es sobre el coseno.
O sea, \( y=\cos x \), \( x=x \), y \( dy=-\sen x \), \( dx=dx \)

La segunda integral es sobre el seno.
O sea,  \( y=\sen x \), \( x=x \), y \( dy=\cos x \), \( dx=dx \)

14 Abril, 2021, 07:05 am
Respuesta #5

hméndez

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¿Cómo establecer los límites de integración para hallar el área entre \( f= sen(x) \) y \( g= cos(x) \) entre \( x= \pi /4 \) y \( 5 \pi /4 \) con este orden de integración:
\( \displaystyle \int\int  dx dy \) ?

Para el orden \( \displaystyle \int\int  dy xy \)es sencillo: \( \displaystyle \int_{\pi /4}^{5 \pi /4}\displaystyle\int_{cos (x)}^{sen (x)}dydx =2\sqrt{2} \)

Es un problema del Larson/Edwuadrs

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No pongas en una fórmula cada simbolito individualmente entre [tex]...[/tex], sino la fórmula completa. Es decir en lugar de:

 [tex]\int[/tex][tex]\int[/tex][tex]dy[/tex][tex]dx[/tex]            \( \int \)\( \int \)\( dy \)\( dx \)

escribe:

[tex]\int\int  dy dx[/tex]             \( \int\int  dy dx \)
[cerrar]


Por favor fíjate en la gráfica:



\( [1]=\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\displaystyle\int_{arcsin(y)}^{arccos(y)+\pi/2} dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)


\( [2]=\displaystyle\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arccos(y)+\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} \)


\( [3]=\displaystyle\int_{-1}^{-1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arcsin(y)+3\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)

Saludos

14 Abril, 2021, 12:41 pm
Respuesta #6

follonic

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¿Cómo establecer los límites de integración para hallar el área entre \( f= sen(x) \) y \( g= cos(x) \) entre \( x= \pi /4 \) y \( 5 \pi /4 \) con este orden de integración:
\( \displaystyle \int\int  dx dy \) ?

Para el orden \( \displaystyle \int\int  dy xy \)es sencillo: \( \displaystyle \int_{\pi /4}^{5 \pi /4}\displaystyle\int_{cos (x)}^{sen (x)}dydx =2\sqrt{2} \)

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No pongas en una fórmula cada simbolito individualmente entre [tex]...[/tex], sino la fórmula completa. Es decir en lugar de:

 [tex]\int[/tex][tex]\int[/tex][tex]dy[/tex][tex]dx[/tex]            \( \int \)\( \int \)\( dy \)\( dx \)

escribe:

[tex]\int\int  dy dx[/tex]             \( \int\int  dy dx \)
[cerrar]


Por favor fíjate en la gráfica:



\( [1]=\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\displaystyle\int_{arcsin(y)}^{arccos(y)+\pi/2} dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)


\( [2]=\displaystyle\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arccos(y)+\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} \)


\( [3]=\displaystyle\int_{-1}^{-1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arcsin(y)+3\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)

Saludos

Es correcto; la suma de los tres resultados da \( 2\sqrt{2} \)

Gracias

14 Abril, 2021, 02:19 pm
Respuesta #7

NoelAlmunia

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Bueno, si la pregunta del ejercicio es tan estricta sobre los límites de integración a partir de una integral doble tomando una x-curva que se desplace por el eje y, sí tienes que dividir la integral en la suma de tres integrales. Pero si tomas como referencia una y-curva que se desplace en el eje x, solo empleas una integral de \( \displaystyle\frac{\pi}{4} \) hasta \( \displaystyle\frac{5\pi}{4} \)
Pero utilizando una integral de línea como te puse en el ejemplo, parametrizando respecto a x, con recorrido antihorario, es mucho más sencillo y llegas al mismo resultado.
Pero bueno, al parecer eso es lo que exige el problema y no comprendí el enunciado estricto inicialmente. Pensé solo en darle solución.
Saludos.