Hola
geómetracat, muchas gracias, como siempre!
Las tres que han probado en realidad son la misma, y de hecho otra que es la misma pero más sencilla es:
\( a^p_n = A2^n + Bn2^n \)
Para verlo solo tienes que comprobar que todas son combinaciones lineales de \( 2^n \) y \( n2^n \), de manera que redefiniendo las constantes adecuadamente puedes pasar de unas a otras.
Hmm.. yo tengo anotado que cuando por ejemplo \( f(n) \) es de la forma \( Kn \) entonces proponemos \( Bn+C \), pero ya sé que \( f(n) \) no es un polinomio, por eso pregunto.
Es \( f(n)=g(n)+h(n) \), \( g(n) \) coincidmos, pero \( h(n)=-4n2^n \) que NO es un polinomio pero observé que:
\( h(n)=-4\underbrace{n}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{2^n}_{\text{Exponencial}} \) luego propongo \( a_n^p=\underbrace{(Bn+C)}_{\text{Polinomio 1º grado}}\;\;\underbrace{D\cdot2^n}_{\text{Exponencial}} \)
¿Por qué esto no funciona? ¿Porque \( h(n) \) no es de ninguna forma "conocida"? Pero entonces no me hubiese dado cuenta de proponer algo tan simple como \( a_n^p=Bn2^n \) para \( h(n) \) (perdón por llamar \( a_n^p \) a dos cosas distintas).
Ahora, imponemos que sea solución:
\( a^p_{n+1} - a^p_n = 4(1-n)2^n \)
\( A2^{n+1} + B(n+1)2^{n+1} - A2^n - Bn2^n = 4 \cdot 2^n -4n2^n \)
Reordenando un poco queda:
\( (A+2B)2^n + Bn2^n = 4\cdot 2^n -4n2^n \).
Así pues, una solución se obtiene tomando \( B=-4,A=12 \), es decir:
\( a^p_n = 12\cdot 2^n -4n2^n \)
(suponiendo que no me haya equivocado: repasa los cálculos porque los he ido haciendo mientras escribía).
Ahora lo voy a ver, teóricamente con el valor inicial el libro dice que la relación de recurrencia queda \( a_n=2n2^n+3\cdot4^n \).
No me queda igual a vos pero coincide con la del libro.
Lo que hice fue:
\( a_{n+1}^p-4a_{n}^p=2A2^n+2Bn2^n+2B2^n-4A2^n-4Bn2^n \)
\( =2^n(2A+2B-4A)+n2^n(2B-4B)=4\cdot2^n-4n2^n \)
Entonces \( -2B=-4 \) y \( -2A+2B=4 \). Entonces \( B=2 \) y \( A=0 \). Luego:
\( a_n=a_n^h+a_n^p=k\cdot4^n+2n2^n \) y con \( a_0=3 \) se tiene \( k=3 \).A ti te salían más incógnitas porque estabas metiendo constantes superfluas en tus candidatos a solución. De todas maneras, que te salgan más incógnitas que ecuaciones no es problema: puedes dar valores arbitrarios a algunas de ellas hasta que te quedes con tantas incógnotas como ecuaciones. A veces esto quiere decir que la solución particular que estás ensayando tiene una forma demasiado general, pero esto no es problema.
El problema vendría si te encuentras con un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Eso quiere decir que la forma de la solución propuesta no es lo suficientemente general y tienes que poner más términos o buscarte la vida de otra forma.
Claro, en ese caso la particular \( a_n^p \) se la multiplica por \( n \) hasta que el sistema deje de ser incompatible.
Gracias!
Saludos
Agregado
