[manuvier]

Hola. agradecería si alguien pudiera darme alguna idea de como demostrar que \( F:\mathbb{R}^n\longrightarrow{}\mathbb{R} \) continua en \( \mathbb{R^n} \) con \( \displaystyle\lim_{ \left\|{x}\right\| \to{+}\infty}{}F(x)=+\infty \) tiene un mínimo absoluto.
Desde ya gracias

[ingmarov]

Hola

Ah, olvidé que es una función multivariable

Spoiler

El teorema del valor medio podría ser útil

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio

[cerrar]

Saludos

[robinlambada]

Hola:

Hola. agradecería si alguien pudiera darme alguna idea de como demostrar que F:/ \( \mathbb{R}^n\longrightarrow{}\mathbb{R} \) continua en \( \mathbb{R^n} \) con \( \displaystyle\lim_{ \left\|{x}\right\| \to{+}\infty}{}F(x)=+\infty \) tiene un mínimo absoluto.
Desde ya gracias

Bueno auque tengo muy  oxidado el análisis de varias variables, creo que esta idea te puede ser útil.

Supón que no hay mínimo absoluto, por tanto supón: \( \forall{}\bar{x_0}\in{\mathbb{R}^n}\, \exists{}\bar{x_1}\in{\mathbb{R}^n}:\,f(\bar{x_0})>f(\bar {x_1}) \)

Esta debería llevarte a uno de estos dos supuestos (según mi intuición, pero de momento no te puedo ayudar más):

1ª- \( \displaystyle\lim_{ \left\|{x}\right\| \to{+}\infty}{}F(x)=-\infty \)

-2ª-La función tiene al menos un punto de discontinuidad.

Como ninguna se cumple debe haber un mínimo absoluto.

Saludos.

[manuvier]

Gracias, voy a intentar por ahí.
Se me había ocurrido probar que dejando constante n-1 variables en otra variable encontrar un mínimo y luego tomar el punto formados por los mínimos y tratar de probar que ese es el mínimo absoluto

[delmar]

Hola

Una forma, considerando la definición de límite. En este caso el límite significa :

\( \forall{M}>0, \ \exists{S}>0 \ / \ F(x)>M, \ si \   \left\|{x}\right\|>S \)


Por ser continua F en \( R^n \) esta definida y es continua en una intervalo cerrado n-dimensional \( I=[\vec{a}, \vec{b}] \), tal que \( a_k=-r, \ b_k=r, \ k=1,2,..,n; \ r>0 \), donde r es una constante real positiva, esto implica que el origen  \( \vec{O} \), esta en el centro del intervalo cerrado I. Al ser continua F en el intervalo cerrado, presenta un mínimo m en I. Siempre existe una constante positiva M'>m. La definición de límite implica que \( \exists{S'}>r\sqrt[ ]{n}>0, \ / \ si \  \left\|{x}\right\|>S', \ \Rightarrow{F(x)>M'} \). Es evidente que los puntos de \( R^n \) que no pertenecen a la n-bola \( B(\vec{O},S') \) tienen valores funcionales \( F(x)>M' \) y ojo \( B(\vec{O},S')\supset{I} \).  Siempre es posible (se puede demostrar) que existe un intervalo cerrado \( I_1=[\vec{c},\vec{d}]\supset{B(\vec{O},S')} \). Solamente para ilustrar en el caso particular de dos dimensiones, la 2-bola en torno al origen con radio \( S' \), es un círculo de radio \( S' \) y una intervalo cerrado, que la incluye es el cuadrado que la circunscribe. Por ser F continua en \( I_1 \) presenta un mínimo  m' en \( I_1 \). Ojo \( I_1 \) es centrado también en el origen e incluye al intervalo cerrado I. En consecuencia el menor de los mínimos  \( \left\{{m,m'}\right\} \) es el mínimo de F en \( R^n \)


Saludos

[robinlambada]

Una idea , respecto a lo que te indique, es crear una sucesión decreciente no acotada inferiormente, ya que, por hipotesis

\( f(\bar{x_1})<f(\bar{x_0}) \), por ello \( f(\bar{x_0})>f(\bar{x_1})>f(\bar{x_2})>f(\bar{x_3})\ldots \)

Por tanto es divergente. Si creamos otra sucesión con \( \bar{x_0},\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3},\ldots \)

Pueden pasar 2 cosas: que su módulo este o no acotado.

Si no lo está ,por ser divergente: \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left |{\bar{x_n}}\right | =+\infty \), entonces

\( \displaystyle\lim_{\left |{\bar{x_n}}\right | \to{+}\infty}{}f(\bar{x_n})=-\infty \)

Lo que contradice la condición de límite.

Y si está acotada en módulo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left |{\bar{x_n}}\right | =M \)

Se debe probar que debe ser discontinua en algún punto, contradiciendo la condición de continuidad.

Por tanto la hipótesis de que no tiene mínimo absoluto debe ser falsa.

Saludos.

[robinlambada]

Una última indicación.

Para el caso que la sucesión este acotada en módulo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left |{\bar{x_n}}\right | =M \)

Recuerda que toda función continua en un compacto alcanza máximo y mínimo absoluto.

Saludos.

[delmar]

Detallando el caso \( F:R^2 \rightarrow{R}  \)



Se considera un intervalo cerrado 2-dimensional I, es un cuadrado de lado 2r, en ese cuadrado F,  por ser continua e I un intervalo cerrado, presenta un mínimo m.

Siempre existe una constante positiva \( M'>m \).  La definición de límite implica \( \exists{S'}>r\sqrt[ ]{2} \ / \ si \  \left\|{x}\right\|>S' \Rightarrow{F(x)>M'} \) . Es claro que la bola \( B(\vec{O},S') \) incluye a I, y en los puntos que no pertenecen a la bola (región punteada de color negro), se tiene \( F(x)>M'>m \) Es decir en esa región el valor de la función es simpre mayor que m.

Existe el intervalo 2-dimensional cerrado \( I_1=[(-S',-S'),(S',S')] \). Se ve claramente en la figura que \( I_1\supset{B(\vec{O},S')}\supset{I} \).  F por ser continua y por ser \( I_1 \) un intervalo cerrado, presenta un minimo m’.  El menor entre m’ y m es siempre m’ por que \( I_1\supset{I} \) y evidentemente, por el hecho de que en la región punteada externa al cuadrado  \( I_1 \), el valor de F es mayor que m, por ende será también mayor que m'. En consecuencia m’ es el mínimo de F en \( R^2 \)

En \( R^n \) se aplica el mismo método; pero se supone que \( S'>r\sqrt[ ]{n} \), para que \( B(\vec{O},S')\supset{I} \)

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Usando el argumento de delmar:
Como \( \displaystyle \lim_{\|x\| \to  + \infty} F(x) = + \infty  \) tenemos \(  F(0) \in \mathbb{R} \), entonces por la definición de límite existe un \( R \in \mathbb{R}  \) tal que si \(  x \in \mathbb{R}^n \setminus C(0,R)  \) tenemos que \( F(x) > F(0)+1  \).
Donde \(  C(0,R) = \{x \in \mathbb{R}^n | \|x\| \leq R \}  \).
Como \( C(0,R)  \) es cerrado tiene máximo y mínimo, el mínimo de \( C(0,R) \) es el mínimo global.

[manuvier]

Hola se me ocurrió la siguiente demostración
 \( \displaystyle\lim_{ \left\|{x}\right\| \to{+}\infty}{}F(x)=+\infty \)  entonces concidero el cerradp [-k,K]
F(x,y) esta en  [-k,K] , como  [-k,K] es compacto existe \( \overline{x} \) el minimo de F
F es continua y  [-k,K] es compacto entonces \( F^(-1) \) de  [-k,K] tambien es compacto, por lo tanto cerrado entoces \( F^(-1)( [tex]\overline{x} \)) esta en \( F^(-1) \) de  [-k,K]
Luego es facio probar que ese minimo es el absoluto.
¿Que les parece?