[Pie]

Buenas. Ya no me acuerdo que estaba haciendo con el wolfram pero me encontré con esta igualdad:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) \]

El caso es que intentando demostrarla, y después de hacer bastantes piruetas, llegué a esta otra expresión:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x}{\sqrt{2(1 +\sqrt{1-x^2})}} \]

Piruetas Pie

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \sin\left(\arcsin(x) - \frac{\arcsin(x)}{2}\right) =  \]

\[ \sin(\arcsin(x))\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) - \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\cos(\arcsin(x)) = \]

\[ x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) - \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\sqrt{1-x^2} \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) + \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\sqrt{1-x^2} = x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)(1 +\sqrt{1 - x^2}) = x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)}{1 +\sqrt{1 - x^2}} \]

Usando que:

\[ \cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}}) \]

Spoiler

\[ \cos(1/2 \arcsin(x)) = \sqrt{\cos^2(1/2 \arcsin(x))} = \sqrt{1-\sin^2(1/2 \arcsin(x))}  \]

Usando que:

\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

Queda:

\[ \sqrt{1- \frac{1}{2}(1 - \cos(\arcsin(x)))} = \]

\[ \sqrt{1- \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1-x^2})} =  \]

\[ \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}}) \]

[cerrar]

Queda:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x\sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}})}{1 +\sqrt{1 - x^2}} =  \]

\[ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{2(1 + \sqrt{1-x^2}})} \]

[cerrar]

Pero no acabo de ver cómo pasar de una a la otra (si es que no cometí ningún error), o de cómo llegar directamente a la primera, que no me extrañaría que fuera algo más sencillo o directo.. Pero no acabo de verlo.

Saludos.

[ancape]

Buenas. Ya no me acuerdo que estaba haciendo con el wolfram pero me encontré con esta igualdad:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) \]

El caso es que intentando demostrarla, y después de hacer bastantes piruetas, llegué a esta otra expresión:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x}{\sqrt{2(1 +\sqrt{1-x^2})}} \]

Piruetas Pie

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \sin\left(\arcsin(x) - \frac{\arcsin(x)}{2}\right) =  \]

\[ \sin(\arcsin(x))\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) - \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\cos(\arcsin(x)) = \]

\[ x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) - \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\sqrt{1-x^2} \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) + \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)\sqrt{1-x^2} = x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)(1 +\sqrt{1 - x^2}) = x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) \Longrightarrow{} \]

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x\cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right)}{1 +\sqrt{1 - x^2}} \]

Usando que:

\[ \cos\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}}) \]

Spoiler

\[ \cos(1/2 \arcsin(x)) = \sqrt{\cos^2(1/2 \arcsin(x))} = \sqrt{1-\sin^2(1/2 \arcsin(x))}  \]

Usando que:

\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]

Queda:

\[ \sqrt{1- \frac{1}{2}(1 - \cos(\arcsin(x)))} = \]

\[ \sqrt{1- \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1-x^2})} =  \]

\[ \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}}) \]

[cerrar]

Queda:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x\sqrt{\frac{1}{2}(1 + \sqrt{1-x^2}})}{1 +\sqrt{1 - x^2}} =  \]

\[ \displaystyle\frac{x}{\sqrt{2(1 + \sqrt{1-x^2}})} \]

[cerrar]

Pero no acabo de ver cómo pasar de una a la otra (si es que no cometí ningún error), o de cómo llegar directamente a la primera, que no me extrañaría que fuera algo más sencillo o directo.. Pero no acabo de verlo.

Saludos.

Haz el cambio \( arcSin(x)/2=u \). Despés de operar, no mucho, llegarás a: \( 4Sin(u)^2=2-2Cos(2u) \) y de aquí a la igualdad.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas. Ya no me acuerdo que estaba haciendo con el wolfram pero me encontré con esta igualdad:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{1}{2}(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) \]

El caso es que intentando demostrarla, y después de hacer bastantes piruetas, llegué a esta otra expresión:

\[ \sin\left(\frac{\arcsin(x)}{2}\right) = \frac{x}{\sqrt{2(1 +\sqrt{1-x^2})}} \]

 Fíjate que:

\(  (\sqrt{1+x} \pm\sqrt{1-x})^2=1+x+1-x\pm 2\sqrt{1-x^2}=2(1\pm \sqrt{1-x^2}) \)  (*)

 De ahí:

\(  \dfrac{x}{\sqrt{2(1 +\sqrt{1-x^2})}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\dfrac{x(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{1+x-(1-x)}=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{2} \)

 Por otra parte:

\(  sin(A/2)=\sqrt{\dfrac{1-cos(A)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-sin^2(A)}}{2}} \)

 De ahí:

\(  sin(arcsin(x)/2)=\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2\sqrt{1-x^2}} \)

 Pero por (*) equivale a:

\(  sin(arcsin(x)/2)=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) \)

Saludos.

[Pie]

Ok. Gracias ancape y Luis! Qué manera de complicarme la verdad, no sé por qué no usé directamente la identidad del seno al cuadrado (de hecho la usé en un paso intermedio  ), creo que me lié calculando primero la misma expresión pero con el coseno y luego buscando una forma de usarla xD

Pero vaya, al menos me ha servido para aprender un poco más de álgebra, que falta me hace..

Saludos.