[notengonipidea]

A ver chicos. Ante todo gracias por admitirme en el foro.

Mi consulta está relacionada con el póker y su combinatoria. Por increíble que parezca son cientos las webs que tratan sobre el póker, pero en ninguna de ellas se resuelven las cuestiones que paso a describir.

La baraja de póker está formada por 52 cartas, repartidas en palos de 13 elementos, numerados del 1 al 10 más la J, la Q y la K (Jack, Reina y Rey)

Para simplificar diremos que se trata de un conjunto de 52 elementos, dividido en cuatro subconjuntos de números que van del 1 al 13)

Llamemos a cada conjunto A, B, C y D, en vez de llamarles corazones, tréboles, diamantes y picas. Lo haremos así para simplificar.

Cada elemento se llamará por su número, acompañado del subconjunto al que pertenecen. Por ejemplo 1A, 2A, 3A..... 13A que serían los elementos del subconjunto A.

El póker consiste en un juego de cartas donde tienes que conseguir la mejor combinación de cinco cartas respecto al resto de jugadores.

Sobre las combinaciones.

Las combinaciones del póker son las siguientes que paso a describir, y su valor es directamente proporcional a su grado de dificultad. Las ordeno de menor a mayor de esa dificultad.

Carta mayor. Se trata de una combinación desordenada donde gana la carta mayor.

Pareja: dos cartas del mismo valor numérico. Por ejemplo 8D y 8C.

Doble pareja: dos parejas. Por ejemplo 9D-9A + 5C-5D

Trío: tres cartas del mismo valor numérico. Por ejemplo 5A, 5D, 5C

Escalera: cualquier conjunto consecutivo de cinco números donde se mezclan elementos de varios subconjuntos. Por ejemplo 1A, 2B, 3D, 4A, 5D. No confundir con la escalera de color.

Color: cinco cartas que pertenecen al mismo subconjunto sin formar escalera. Por ejemplo: 3D, 5D, 8D, 10D, 13D.

Full House: cinco cartas formadas por un trío y una pareja.

Póker: cuatro cartas del mismo valor. Por ejemplo 3A-3B-3C-3D

Escalera de color: una escalera donde las cinco cartas son consecutivas y pertenecen al mismo subconjunto: 6B-7B-8B-9B-10B

Escalera real: igual que la escalera de color, pero donde el último elemento es el número 13, por ejemplo 9B-10B-11B-12B-13B

Ahora las cuestiones:

Ojo con la combinatoria, porque se trata de conjuntos sin repetición de elementos. Hablo de la baraja completa de 52 elementos.

¿Cuántas parejas posibles se pueden realizar en el póker?. A mi me salen 78 pero necesito confirmación.

¿Cuántas dobles parejas posibles se pueden realizar en el póker?.

¿Cuántos tríos posibles se pueden realizar en el póker? A mi me salen 52 pero necesito confirmación.

¿Cuántas escaleras posibles se pueden realizar en el póker? Tras devanarme los sesos un par de veces, creo que la solución es 5! (cinco factorial) multiplicado por las nueve posiciones de la escalera natural (de color). O dicho de otro modo, una combinatoria sin repetición de una matriz de cinco columnas y cuatro filas, repetida nueve veces. A saber 5! = 120 --> 120 x 9 = 1080 escaleras posibles, aunque hay que restarle las 36 escaleras de color. O sea: 1044 escaleras normales.

¿Cuántos colores posibles se pueden realizar en el póker?

¿Cuántos Full Houses posibles se pueden realizar en el póker?

¿Cuántas escaleras de color posibles se pueden realizar en el póker? Respuesta: en cada subconjunto se pueden generar 9 combinaciones posibles, luego son 9x4 =36 escaleras de color posibles.

Escaleras reales sólo se pueden hacer cuatro. Esa era la más fácil.

Gracias de antemano por vuestra respuesta. Para un experto en probabilidad esto será pan comido, no así para mi que soy lego en la materia.

Edito: he recurrido incluso a chatGTP pero me da respuestas erróneas.

[delmar]

Hola notengonipidea

Bienvenido al foro

Te ayudo con algunas de las interrogantes :

¿Cuántas parejas posibles se pueden realizar en el póker?

Una característica de la pareja es el número, entonces :

Con el 1, \( \displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 \)

Hay 13 números entonces \( 13(6)=78 \)

¿Cuántas dobles parejas posibles se pueden realizar en el póker?

Considerando solamente la característica número  por ejemplo 11-44  se traduce a 1-4 se tiene :

\( \displaystyle\frac{13!}{2! \ 11!}=78 \)

Para un par de números determinados por ejemplo 1 - 4 se tiene \( 6(6) \)

Luego el total será : \( 78(36) \)

¿Cuántos tríos  posibles se pueden realizar en el póker?

Con el 1, serán \( \displaystyle\frac{4!}{3!1!}=4 \)

Hay 13 números \( 4(13)=52 \)

¿Cuántas escaleras posibles se pueden realizar en el póker?

Considerando solo números se tiene 1 al 5, 2 al 6, 3 al 7, ..., 9 al 13 habrían 9 tipos de escaleras

Para un tipo determinado por ejemplo 1 al 5, se tiene \( 4^5 \) luego en total habría \( 9(4^5) \) hay que descontar las escaleras de color, 9 por color en total 36 luego la respuesta es \( 9(4^5)-36 \)



Saludos

[Richard R Richard]

¿Cuántas parejas posibles se pueden realizar en el póker?. A mi me salen 78 pero necesito confirmación.

cuando tienes 4 cartas del mismo numero , puedes formar formas 6 grupos de 2 cartas diferente, como tienes 13 número diferentes la cantidad de pares es $$6\cdot13=78$$

¿Cuántas dobles parejas posibles se pueden realizar en el póker?.

ahora es segundo par es independiente del primero , ya que si se vuelve a formar un par con el mismo número tienes poker y no doble par, así que de los 78  originales ahora puedes combinarlo con otros 6 grupos por cada valor diferente.
$$n=(13*6)(12*6)=5616$$ corregido.

¿Cuántos tríos posibles se pueden realizar en el póker? A mi me salen 52 pero necesito confirmación.

Puedes for 4 tríos con el mismo número, así que solo hay $$13*4=52$$ ...


Ojo , lo digo por las dudas no se  hacia donde quieres derivar  con tu hilo,  pero observa que la cantidad de tríos posible de obtener, no se relaciona con la probabilidad de obtenerlo, ya que un trío acompañado de un par es un full... y no será tan fácil de calcular la probabilidad de calcularlo, entre las 5 mejores cartas de 7 que puedes usar.

¿Cuántas escaleras posibles se pueden realizar en el póker? Tras devanarme los sesos un par de veces, creo que la solución es 5! (cinco factorial) multiplicado por las nueve posiciones de la escalera natural (de color). O dicho de otro modo, una combinatoria sin repetición de una matriz de cinco columnas y cuatro filas, repetida nueve veces. A saber 5! = 120 --> 120 x 9 = 1080 escaleras posibles, aunque hay que restarle las 36 escaleras de color. O sea: 1044 escaleras normales.

hay 10 tipos de escaleras según los números,
A2345
23456
...
910JKQ
10JKQA

cada número puede tener cuatro colores que son independientes del resto así que hay $$4^5\cdot 10$$ escaleras posibles, de las cuales tendrás que descontar las 36 que son mas valiosas escaleras de color y las 4 reales

otra observación puedes tener escalera y color a la vez, sin tener escalera de color si  llegas al river, entre las 7 cartas donde será mejor jugada el color que la escalera , pero si solo consideras 5 cartas será escalera de color.

¿Cuántos colores posibles se pueden realizar en el póker?

la cantidad con 5 cartas  la sacas sabiendo que dada la primer carta de un color que se obtuvo de 13 posibles la segunda puede escogerla de 12 , la tercera de 11 ... en total
$$13*12*11*10*9 =154440$$ , pero hay 4 colores, así que tienes $$617760$$ formas de tener color, pero debes tambien descontar las 36 que son escaleras y las 4 escaleras reales.

¿Cuántos Full Houses posibles se pueden realizar en el póker?

surge de multiplicar la cantidad de tríos por la de pares pares posible con los otros 12 números $$52*12*6 =3744$$

¿Cuántas escaleras de color posibles se pueden realizar en el póker? Respuesta: en cada subconjunto se pueden generar 9 combinaciones posibles, luego son 9x4 =36 escaleras de color posibles.

Correcto

Escaleras reales sólo se pueden hacer cuatro. Esa era la más fácil.

Correcto


El numero de poker serian 13,  pero observa que la quinta carta puede ser cualquiera de las 48 restantes, así que , si quieres contar bien,  bien, tienes que contar las formas diferentes que se pueden dar con las cartas que no te sirven al juego, entonces así tendrás en cuenta todas la posibilidades incluso de tener la carta mas alta.

Saludos

[ancape]

Hola

No entiendo cómo salen menos parejas que dobles parejas a no ser que se entienda por pareja 5 cartas y SÓLO dos repetidas.
Si la probabilidad de tener sólo pareja es menor que la de tener doble pareja ¿porqué en el juego de póker la doble pareja gana a la pareja simple?
Saludos

[Richard R Richard]

Hola

No entiendo cómo salen menos parejas que dobles parejas a no ser que se entienda por pareja 5 cartas y SÓLO dos repetidas.
Si la probabilidad de tener sólo pareja es menor que la de tener doble pareja ¿porqué en el juego de póker la doble pareja gana a la pareja simple?
Saludos

Hola  eso tambien se lo intente explicar,  una cosa es preguntar cuántas formas diferentes hay de parejas dentro de un mazo, y otra es la probabilidad de obtener esa pareja a partir del mazo.


Por ejemplo sacar un par  es mejor que no haber tenido ninguno y que tu carta mas alta halla sido un as, pero, cada par  de números  ej 2 y 2  puedes obtenerlo de 6 maneras diferentes con los 4 palos, pero además entre las otras 3 cartas para completar 5 no tiene que haber otro 2, si no se forma trio o poker si repite 2 otra vez, pero tampoco repetirse entre ellas para formar doble par ni tampoco full.
Para contar el número de pares posibles de 5 cartas de obtener de la forma $$AABCD$$ tienes que multiplicar las 6 formas de obtener $$AA$$ por 13 posibilidades de que el número sea A  por 48(el número de cartas restante) que el tercer número sea distinto osea $$B$$ por 44  de que el cuarto sea distinto de los anteriores y por 40 para que el ultima tambien sea distinto  hay entonces  6598440 formas distintas de tener un par entre las 5 cartas por ser tan fácil es la combinación que menos puntúa.
un doble par  tiene la forma $$AABBC$$ así que tienes  $$(6*13)(6*12)$$ combinada y cualquiera de las 44 cartas restantes que no son ni A ni B  es decir 247104 formas distintas  muchísimas menos posibilidades que un solo par.


En realidad los juegos online, y los torneos profesionales de casinos te permiten jugar con dos cartas propias que el adversario desconoce y adicionar 5 comunes para ambos escoger de esas 5 las 3 mejores que te sirvan para obtener la mejor combinación que mas puntué o que le gane a otras. Así  la mejor combinación de 5 cartas de cada jugador se compara con la mejor combinación de 5 cartas del contrincante , así que tampoco se calculan de ese modo las probabilidades de que tu par sea mejor que el del rival... es un tanto mas complejo pero no imposible de analizar,  de hecho hay teoría, estrategía , libros y mucho dinero por medio. Es decir el juego real  comparas tu mejor combinación entre 7 cartas... y eso es totalmente diferente a lo que estamos calculando aquí.


Otra a tener en cuenta es que no importa el orden ABACD tambien es un par por lo que tambien hay que tener en cuenta el orden en que salen la cartas por eso el color tiene menos posibilidades que el doble par ....



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

[/size]

¿Cuántos colores posibles se pueden realizar en el póker?

la cantidad con 5 cartas  la sacas sabiendo que dada la primer carta de un color que se obtuvo de 13 posibles la segunda puede escogerla de 12 , la tercera de 11 ... en total
$$13*12*11*10*9 =154440$$ , pero hay 4 colores, así que tienes $$617760$$ formas de tener color, pero debes tambien descontar las 36 que son escaleras y las 4 escaleras reales.

Ojo, ahí tienes que dividir por \( 5! \), porque no hay que considerar el orden el que salen las cartas. Es decir no hay "primera carta", "segunda carta"... sino un grupo de \( 5 \) cartas.

\( 4\cdot \displaystyle\binom{13}{5}=5148 \).

Saludos.

[ancape]

Hola  eso tambien se lo intente explicar,  una cosa es preguntar cuántas formas diferentes hay de parejas dentro de un mazo, y otra es la probabilidad de obtener esa pareja a partir del mazo.
.....

Hola
Sigue sin convencerme tu razonamiento. En todos los juegos, una jugada gana a otra cuando la probabilidad de obtenerla sea menor.

La forma de contar la parejas posibles y que da al final 78, deja fuera muchos caso posibles: Que la pareja se alcance cuando se recibe la 2ª y 5ª carta, que sea cuando la 3ª y 4ª..... además puede ser pareja de 2, pareja de J.....demasiados casos para evaluar. Es mucho mas fácil la cuenta 'Número de manos en las que se tiene al menos pareja = Número de manos totales - Número de manos con todas las cartas distintas'

El número de manos que hay con 52 cartas repartidas en manos de 5 es \( \begin{pmatrix}{52}\\{5}\end{pmatrix}= \displaystyle\frac{52.51.50.49.48}{5!}=2.598.960 \) (CORREGIDO 52! que puse en el numerador)
Repartamos una mano.
Cuando se da la primera carta tenemos 13 casos distintos de comienzo. Cuando se da la segunda tendremos que eliminar el número que ha salido antes para evitar que pueda salir una pareja, esto es, tendremos 12 casos distintos. Cuando se da la 3ª 11... El número de casos en que no hay repeticiones es 13!=154.440 \( 13.12.11.10.9 = 154.440 \). El número de manos en que hay por lo menos una carta repetida es 2.598.960-154.440=2.444.520 y no 78 como decíais.

En los demás casos veo también inconsistencias.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sigue sin convencerme tu razonamiento. En todos los juegos, una jugada gana a otra cuando la probabilidad de obtenerla sea menor.

La forma de contar la parejas posibles y que da al final 78, deja fuera muchos caso posibles: Que la pareja se alcance cuando se recibe la 2ª y 5ª carta, que sea cuando la 3ª y 4ª..... además puede ser pareja de 2, pareja de J.....demasiados casos para evaluar. Es mucho mas fácil la cuenta 'Número de manos en las que se tiene al menos pareja = Número de manos totales - Número de manos con todas las cartas distintas'

Es que depende de lo que entendamos que estamos contando:

1) Una cosa es contar en cuantas manos de cinco cartas hay con al menos (o exactamente) una pareja.
2) Otra cosa es contar cuantas parejas distintas puede haber (olvídandose de si están incluidas en una mano completa de cinco cartas).

Todas las respuestas que se han dado a notengonipidea, son con la interpretación (2). Tendrá que decir él si es o no lo que buscaba, , aunque sus primeros cálculos coinciden con estar interpretación. Es cierto que no sirven para calcular probabilidades.

El número de manos que hay con 52 cartas repartidas en manos de 5 es \( \begin{pmatrix}{52}\\{5}\end{pmatrix}= \displaystyle\frac{52!}{\color{red}5!\color{black}}=2.598.960 \)

Se coló una errata ahí.  Falta:

 \( \begin{pmatrix}{52}\\{5}\end{pmatrix}= \displaystyle\frac{52!}{5!\color{red}(52-5)!\color{black}}=2.598.960 \)

Repartamos una mano.
Cuando se da la primera carta tenemos 13 casos distintos de comienzo. Cuando se da la segunda tendremos que eliminar el número que ha salido antes para evitar que pueda salir una pareja, esto es, tendremos 12 casos distintos. Cuando se da la 3ª 11... El número de casos en que no hay repeticiones es 13!=154.440 \( 13.12.11.10.9 = 154.440 \). El número de manos en que hay por lo menos una carta repetida es 2.598.960-154.440=2.444.520 y no 78 como decíais.

Esto sería razonar según la primera interpretación.

Pero en ese caso el número de casos en el que todas las cartas son de distinto número son:

\( \displaystyle\binom{13}{5}\cdot 4^5=1.317.888 \)

donde \( \displaystyle\binom{13}{5} \) corresponde a las formas de elegir cinco números distintos y \( 4^5 \) a las formas de elegir cada uno de los cuatro palos para las cinco cartas.

En ese sentido el número de manos con al menos dos cartas del mismo número serían:

\( 2.598.960-1.317.888=1.281.072 \)

Si quisiese hallarse el número de manos con EXACTAMENTE una pareja serían:

\( 13\cdot \displaystyle\binom{4}{2}\cdot \displaystyle\binom{12}{3}\cdot 4^3=1098240 \)

\( 13 \) opciones para el número de la pareja.
\( \displaystyle\binom{4}{2} \) para los dos palos de la pareja.
\( \displaystyle\binom{12}{3} \) para los tres números distintos entre si y de el de la pareja.
\( 4^3 \) para los tres palos de las cartas que no forman parte de la pareja.

Saludos.

[ancape]

.....
Es que depende de lo que entendamos que estamos contando:

1) Una cosa es contar en cuantas manos de cinco cartas hay con al menos (o exactamente) una pareja.
2) Otra cosa es contar cuantas parejas distintas puede haber (olvídandose de si están incluidas en una mano completa de cinco cartas).

Todas las respuestas que se han dado a notengonipidea, son con la interpretación (2). Tendrá que decir él si es o no lo que buscaba, , aunque sus primeros cálculos coinciden con estar interpretación. Es cierto que no sirven para calcular probabilidades.

No entiendo bien el apartado 2). ¿Qué tiene que ver el juego del póker con el número de parejas posibles que se podrían hacer con las 52 cartas?

El número de manos que hay con 52 cartas repartidas en manos de 5 es \( \begin{pmatrix}{52}\\{5}\end{pmatrix}= \displaystyle\frac{52!}{\color{red}5!\color{black}}=2.598.960 \)

Se coló una errata ahí.  Falta:

 \( \begin{pmatrix}{52}\\{5}\end{pmatrix}= \displaystyle\frac{52!}{5!\color{red}(52-5)!\color{black}}=2.598.960 \)

Lo corrrijo

....
Pero en ese caso el número de casos en el que todas las cartas son de distinto número son:

\( \displaystyle\binom{13}{5}\cdot 4^5=1.317.888 \)

donde \( \displaystyle\binom{13}{5} \) corresponde a las formas de elegir cinco números distintos y \( 4^5 \) a las formas de elegir cada uno de los cuatro palos para las cinco cartas.

En ese sentido el número de manos con al menos dos cartas del mismo número serían:

\( 2.598.960-1.317.888=1.281.072 \)

No entiendo bien el factor \( 4^5 \). ¿Dónde está el fallo de contar las manos que contienen al menos una pareja en el razonamiento que di?: 'Repartamos una mano. Cuando se da la primera carta tenemos 13 casos distintos de comienzo. Cuando se da la segunda tendremos que eliminar el número que ha salido antes para evitar que pueda salir una pareja, esto es, tendremos 12 casos distintos. Cuando se da la 3ª 11... El número de casos en que no hay repeticiones es 13!=154.440 13.12.11.10.9=154.440. El número de manos en que hay por lo menos una carta repetida es 2.598.960-154.440=2.444.520 .....'

Saludos

[ancape]

Hola

[/size]

¿Cuántos colores posibles se pueden realizar en el póker?

la cantidad con 5 cartas  la sacas sabiendo que dada la primer carta de un color que se obtuvo de 13 posibles la segunda puede escogerla de 12 , la tercera de 11 ... en total
$$13*12*11*10*9 =154440$$ , pero hay 4 colores, así que tienes $$617760$$ formas de tener color, pero debes tambien descontar las 36 que son escaleras y las 4 escaleras reales.

Ojo, ahí tienes que dividir por \( 5! \), porque no hay que considerar el orden el que salen las cartas. Es decir no hay "primera carta", "segunda carta"... sino un grupo de \( 5 \) cartas.

\( 4\cdot \displaystyle\binom{13}{5}=5148 \).

Saludos.

No entiendo el razonamiento de Richard ni el tuyo que da por bueno este si se divide por 5!.
¿creo que un razonamiento válido para contar las manos de 5 cartas que tienen todas el mismo palo es:

Hay 4 palos

La carta 1 puede sacarse de 4 palos posibles
La carta 1 tiene que sacarse de entre las 52 cartas de la baraja y será de un determinado palo.

Una vez que se saca la carta 1, ya no se puede cambiar de palo así que tiene que salir una de las 12 cartas que quedan de ese palo. En otro caso ya no podemos aspirar a tener color.

La tercera carta puede sacarse de 11 casos posibles etc.
Ahora debemos tener en cuenta que hay que dividir por 5! pues la posición de las cartas en cada mano es irrelevante.
Los casos posibles para tener color son \( \displaystyle\frac{52·12·11·10·9}{5!} \) = 5148 (CORREGIDO. No dividía por 5!)

Como vemos, la cantidad es la misma que apuntó Luis pero, como dije, no entendí la argumentación.
Saludos