[Roma]

La función de ingresos totales de una empresa en función de la producción de un producto es un polinomio de tercer grado, concretamente:

\( I_T(x)=x^3+ax^2+bx+c \),

donde \( x\geq 0 \) es el número de unidades del producto producidas por la empresa (en millares). Los costes totales de la producción son \( C_T(x)=dx+e \). Se sabe que, si no se produce nada, los costes totales son iguales a 1,5 unidades monetarias (costes fijos), y la empresa no tiene ingresos.

Los beneficios de la empresa se obtienen restando los costes totales de los ingresos totales, esto es, \( B(x)=I_T(x)-C_T(x) \).

Se sabe que:
   Si se producen \( 2000 \) unidades (\( x=2 \)), el beneficio marginal es 0, es decir, la derivada del beneficio total se anula.
   El beneficio total medio (beneficio total por mil unidades producidas) tiene una tasa de crecimiento instantánea positiva e igual a \( 4 \) en el punto \( x=1 \).

Se pide:

a) A partir de la información proporcionada, demostrad que el beneficio de la empresa \( B(x) \) en función de la producción \( x\geq 0 \) es \( B(x)=x^3+0,5x^2-14x-1,5. \)

b) Utilizad un recurso gráfico en línea (ver, p.ej., Graficadores matemáticos online) para representar la función del beneficio de la empresa \( B(x) \) en función de  \( x\geq 0 \) . Según el gráfico, si la empresa produce menos de 3000 unidades (\( x=3 \)), ¿en qué pérdidas máximas puede incurrir? ¿A qué cantidad de unidades fabricadas corresponded estas pérdidas máximas? (0,5 puntos)

c) Utilizando el gráfico del apartado b), ¿a partir de qué nivel de producción esta empresa tendrá beneficios positivos? 

[Luis Fuentes]

Hola

La función de ingresos totales de una empresa en función de la producción de un producto es un polinomio de tercer grado, concretamente:

\( I_T(x)=x^3+ax^2+bx+c \),

donde \( x\geq 0 \) es el número de unidades del producto producidas por la empresa (en millares). Los costes totales de la producción son \( C_T(x)=dx+e \). Se sabe que, si no se produce nada, los costes totales son iguales a 1,5 unidades monetarias (costes fijos), y la empresa no tiene ingresos.

Los beneficios de la empresa se obtienen restando los costes totales de los ingresos totales, esto es, \( B(x)=I_T(x)-C_T(x) \).

La función \( B(x) \) es un polinomio de tercer grado de la forma:

\( B(x)=x^3+px^2+qx+r \)

por ser la diferencia de ingresos y costes que son respectivamente un polinomio de tercer grado (con coeficiente principal uno) y primer grado.

De la frase en rojo:

\( B(0)=-1.5 \)

Se sabe que:
   Si se producen \( 2000 \) unidades (\( x=2 \)), el beneficio marginal es 0, es decir, la derivada del beneficio total se anula.

Esto significa que \( B'(2)=0 \).

   El beneficio total medio (beneficio total por mil unidades producidas) tiene una tasa de crecimiento instantánea positiva e igual a \( 4 \) en el punto \( x=1 \).

Esto significa que \( B'(1)=4 \)

 Aquí según aclara ani_pascual, parece que se refería a la derivada de \( B(m)/m \).

 Con esto intenta resolver el problema.

 Si no te sale indica las dudas concretas.

Saludos.

CORREGIDO.

[ani_pascual]

 Esto significa que \( \textcolor{red}{B'(4)=1} \)

 Con esto intenta resolver el problema.

 Si no te sale indica las dudas concretas.

Saludos.

Hola:
¿No es \( B'(1)=4 \)?
Saludos

[ani_pascual]

La función de ingresos totales de una empresa en función de la producción de un producto es un polinomio de tercer grado, concretamente:

\( I_T(x)=x^3+ax^2+bx+c \),

donde \( x\geq 0 \) es el número de unidades del producto producidas por la empresa (en millares). Los costes totales de la producción son \( C_T(x)=dx+e \). Se sabe que, si no se produce nada, los costes totales son iguales a 1,5 unidades monetarias (costes fijos), y la empresa no tiene ingresos.

Los beneficios de la empresa se obtienen restando los costes totales de los ingresos totales, esto es, \( B(x)=I_T(x)-C_T(x) \).

Se sabe que:
   Si se producen \( 2000 \) unidades (\( x=2 \)), el beneficio marginal es 0, es decir, la derivada del beneficio total se anula.
   El beneficio total medio (beneficio total por mil unidades producidas) tiene una tasa de crecimiento instantánea positiva e igual a \( 4 \) en el punto \( x=1 \).

Se pide:

a) A partir de la información proporcionada, demostrad que el beneficio de la empresa \( B(x) \) en función de la producción \( x\geq 0 \) es \( B(x)=x^3+0,5x^2-14x-1,5. \)

b) Utilizad un recurso gráfico en línea (ver, p.ej., Graficadores matemáticos online) para representar la función del beneficio de la empresa \( B(x) \) en función de  \( x\geq 0 \) . Según el gráfico, si la empresa produce menos de 3000 unidades (\( x=3 \)), ¿en qué pérdidas máximas puede incurrir? ¿A qué cantidad de unidades fabricadas corresponded estas pérdidas máximas? (0,5 puntos)

c) Utilizando el gráfico del apartado b), ¿a partir de qué nivel de producción esta empresa tendrá beneficios positivos?

Hola:
Tal y como está redactado no me quedaba clara la expresión tasa de crecimiento instantánea del beneficio total medio. Para obtener el resultado que viene en el enunciado, es decir \( B(x)=x^3+0,5x^2-14x-1,5. \) se ha de entender que si el beneficio es \( B(x)=x^3+ax^2+bx-dx-1,5 \) entonces \( B_m(x)=\dfrac{B(x)}{x}=\dfrac{x^3+ax^2+(b-d)x-1,5}{x}=x^2+ax+(b-d)-\dfrac{1,5}{x}\Longrightarrow B_m'(x)= 2x+a+\dfrac{1,5}{x^2}\Longrightarrow B_m'(1)=4\Longrightarrow 2+a+1,5=4\Longrightarrow a=0,5 \). Así, como \( B'(2)=0\Longleftrightarrow 12+4a+b-d=0 \) resulta que \( b-d=-14 \) de donde \( \boxed{B(x)=x^3+0,5x^2-14x-1,5} \)
CORREGIDO
Adjunto la gráfica para que intentes contestar al resto de preguntas (obviamente, se debe prescindir de la parte de la gráfica correspondiente a valores \( x<0 \)) ...

Spoiler

b) Si \( x\leq 3 \) entonces la máxima pérdida es \( B(2)=-19,5\,u.m. \) que se da cuando se producen 2000 unidades \( (x=2) \)
c) \( B>0 \) si \( x\simeq 3,55 \)

[cerrar]

Saludos