En un libro de texto para 4º de la ESO he encontrado el siguiente ejercicio y me ha surgido la duda.

Ejercicio: Buscar un polinomio de grado 4 irreducible.

Se supone que el polinomio tiene que tener coeficientes en\(  \mathbb{R} \)

La duda consiste en que yo creo que no existe tal polinomio.
Si \( P(x) \) es un polinomio de grado 4 y tiene una raíz compleja \( z_0 \), entonces también la conjugada \( \overline{z_0} \) es otra raíz. Y entonces, \( (x - z_0)(x- \overline{z_0}) \) es un polinomio de segundo grado, con coeficientes reales, que es factor de P(x).

Gracias por vuestro interés,

Hola, tengo el siguiente problema extraído de un libro

Autores, Henderson y Quandt, 1985.

 Un consumidor cuya conducta se adapta a los axiomas de Von Neumann-Morgenstern y cuya riqueza inicial es de \( w_0=160.000 \) u.m.  está sujeto al riesgo de un incendio. La probabilidad de un gran incendio, con pérdidas de 70.000 u.m., es de 0,05 y la de un incendio destructor, con 120.000 u.m. en pérdidas, es también de 0,05. Su función de utilidad es \( u(w)=w^{1/2} \)¿Cuál es la máxima cantidad que estará dispuesto a pagar por una póliza de seguros que le asegure contra el riesgo de incendio?

Después de un gran incendio, su riqueza será \( w_1=w_0 - 70.000=90.000 \) u.m. , y después de un incendio devastador \( w_2=w_0-120.000=40.000 \) u.m.

La lotería L para \( w_0,\; w_1,\; w_2 \) es \( L=(0.9, 0.05, 0.05) \)

El valor esperado de la Lotería sería \( E(L)=0.9 w_0 + 0.05 w_1 + 0.05 w_2= 150.500 \) u.m.

La utilidad esperada de esta lotería es \( U(L)=0.9\,u(w_0)+ 0.05\,u(w_1)+0.05\,u(w_2)=0.9\cdot 400 + 0.05\cdot 300 + 0.05 \cdot 200=360+15+10=385 \)

De manera que el equivalente cierto \( z_0 \), el valor que proporciona la misma utilidad que la utilidad esperada, \( u(z_0)=U(L) \), es \( z_0=385^2=148.225 \) u.m.

La prima de riesgo asociada es \( \rho=x_0 - z_0=150.500 - 148.225=2.275 \) u.m.

Si no me equivoco esta debe ser la máxima cantidad para pagar un seguro contra incendio.

Saludos,

Hola,

Estoy estudiando un poquillo de teoría de juegos y en un libro he encontrado el siguiente problema:

Un individuo ha pensado realizar una inversión en un activo financiero de gran volatilidad, que proporciona una ganancia bruta de 0 u.m. (es decir, pérdida de la cantidad invertida) con probabilidad 3/4 y de 6 u.m. con probabilidad 1/4 por cada u.m. invertida (1 u.m. de recuperación de la inversión + 5 u.m. de rendimiento neto). Sabiendo que sus preferencias representables mediante la función de utilidad \( u(w)=ln ( w +9 ) \)  y su riqueza actual es \( w_0>1 \) , ¿cuánto decidirá invertir?

Si juega 1 u.m., la lotería L consiste en \( L=\left ( \displaystyle\frac{3}{4}, \displaystyle\frac{1}{4}\right ) \) para \( x_1=0 \) y \( x_2=6 \)

El valor esperado de esta lotería es \( x_0 = \displaystyle\frac{3}{2} \)
Si se invierten w u.m., el valor esperado de la lotería es \( x_0=\displaystyle\frac{3w}{2} \)

La utilidad esperada (de Von Neumann-Morgensten) de la lotería es \( U(L)=\displaystyle\frac{3}{4}u(0)+\displaystyle\frac{1}{4}u(6)=\displaystyle\frac{3}{4} ln (9)+\displaystyle\frac{1}{4} ln (15)  \)

Si \( z_0 \) es el equivalente cierto de la lotería, tenemos \( u(z_0)=U(L) \)

Calculando, sale \( z_0\approx 1,226 \).

El agente es averso al riesgo pues la función de utilidad \( u(w) \) es cóncava, con segunda derivada negativa. La prima de riesgo es \( \rho = x_0 - z_0 \). Igualando a cero ésta, tenemos

\( \displaystyle\frac{3w}{2}-z_0=0\Rightarrow{}w=\displaystyle\frac{2 z_0}{3} \approx{0.8173} \)

Creo que he hecho algo mal y no consigo interpretar bien los cálculos hechos. Sigo sin responder a la cuestión, ¿cuánto debe invertir el agente?, ¿qué significa cada cosa en este contexto? (el equivalente cierto y la prima de riesgo)

Muchas gracias,

Muchas gracias a todos,

Saludos

\(  f(x) = x-1 - \ln(x)  \)

\(  g(x) = \ln(x) - (1-\dfrac{1}{x})  \)

Tienes \(  f(1) = g(\color{red} 1 \color{black}) = 0  \)

En el dominio \( x\geq{1} \) tienes que probar que las funciones \( f(x),\; g(x) \) son ambas estrictamente crecientes. Esto se lleva a cabo comprobando que las derivadas son positivas. \( f'(x),\; g'(x)>0 \)

Saludos,
 

Hola,

Si, es cierto. Está todo mal.

Saludos, gracias.

Poniendo \( a_n=\displaystyle\frac{ln (1 + n^2)}{1+n^2} \) y \( b_n=\displaystyle\frac{1}{n^{3/2}} \). Tenemos
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=0 \)

Hola,

Se trata de discutir si la serie \( \displaystyle\sum_{n\geq{1}}{\displaystyle\frac{ln (1+n^2)}{1+n^2}} \) es convergente o no.

Saludos,

Hola,

Mi respuesta es esta:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left (\cos{\frac{a}{n}}\right)^n}=e^L \)

Donde \( L=\lim n\left(\cos{\frac{a}{n}}-1\right) \)

Y tenemos que \( \displaystyle a\frac{\cos{\frac{a}{n}}-1}{\frac{a}{n}}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{+\infty} \)
Por tanto,
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left(\cos{\frac{a}{n}}\right)^n}=1 \)

Saludos,

Hola,
He encontrado el siguiente problema propuesto:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua. Sean \( [a,b] \) y \( [c,d] \) intervalos tales que
\( [c,d]\subset{f([a,b])} \)
Demostrar que existe un subintervalo \( [\alpha,\beta]\subset{[a,b]} \) tal que \( f([\alpha,\beta])=[c,d] \)
Para empezar se me ocurre, que como f es continua, entonces, \( f([\alpha,\beta])=J \) es un intervalo cerrado y acotado. Siendo \( f(\alpha)=c, \;\;f(\beta)=d \) (se puede suponer \( \alpha<\beta \)). Es evidente que \( [c,d]\subset{J} \) por el teorema del valor intermedio. La cosa es probar \( J\subset{[c,d]} \) y aquí es donde me atasco. Puede servir de pista el hecho de que el conjunto \( \left\{ x \in{[a,b]}| f(x)=c\right\} \) es compacto y por tanto tiene máximo y mínimo.

Gracias,

He estado pensándolo un par de horas hasta que ya me he cansado.

Supongamos que X es un e.t. separable \( T_2 \) y que \( f:X\longrightarrow{X} \) es una función continua. Probar que el conjunto
\( A=\left\{x\in{X}| f(x)=x\right\} \) es un conjunto cerrado.

Se me ocurre la siguiente solución al problema.
Solución:
Hay que probar que \( \overline{A}\subseteq{A} \)
Sea \( x \in \overline{A} \) fijo arbitrario. Supongamos que \( f(x)\neq{x} \). Sea V entorno de \( f(x) \) y U un entorno cualquiera de \( x \). Por ser \( f \) continua en \( x \),existe un abierto \( O\subset{U} \), tal que \( x\in{O} \) y \( f(O)\subset{V} \)
Por ser x punto de adherencia de A, \( A\cap{O}\neq{\emptyset} \), es decir existe \( y\in{O} \) tal que \( f(y)=y \in{f(O)}\subset{V} \). Luego \( y\in{O\cap{V}\neq{\emptyset}} \). Por tanto, \( V\cap{U}\neq{\emptyset} \), es decir, no se pueden "separar" los puntos x y f(x). Pero esto contradice la hipótesis \( T_2 \). Por lo tanto, \( f(x)=x \), i.e. \( x\in{A} \). Luego A es cerrado.

¿Es correcta esta prueba?

Saludos,