[AveFenix]

¿Si \( f_X\to Y \) es inyectiva y \( X \)es finito. ¿\( Y \) es finito?.

Borrado porque no era cierto jaja

[geómetracat]

\( f:\{1\} \to \Bbb N \) definida por \( f(1)=1 \) es inyectiva, \( \{1\} \) es finito, y \( \Bbb N \) es infinito.

[AveFenix]

Gracias, entonces.
¿¿Que necesita saber de \( f \) y \( X \) para asegurar que \( Y \) sea un conjunto finito?

[geómetracat]

Si \( X \) es finito y \( f:X \to Y \) es exhaustiva, entonces \( Y \) es finito.

[AveFenix]

Nunca lei "exhaustiva" , supongo que te refieres a sobreyectiva?

[geómetracat]

Nunca lei "exhaustiva" , supongo que te refieres a sobreyectiva?

Sí, es lo mismo.

[AveFenix]

Intento:
Supongamos por contradicción que \( Y \) es infinito y \( X \) es finito, y que f es una función sobreyectiva \( f: X \rightarrow Y \).

Dado que \( f \) es sobreyectiva, cada elemento en \( Y \) tiene al menos un preimagen en \( X \), pero debido a la finitud de \( X \), hay solo un número finito de elementos en \( X \) disponibles para ser preimágenes.

Por lo tanto, habrá al menos un elemento en \( Y \) que tiene múltiples preimágenes en \( X \). Llamémosle \( y_1 \). Esto contradice la definición de función, ya que una función asigna a cada elemento en el dominio exactamente un elemento en el codominio. Si \( y_1 \) tiene múltiples preimágenes en \( X \), entonces \( f \) no es una función.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que existe una función sobreyectiva de un conjunto finito \( X \) a un conjunto infinito \( Y \) es falsa. En consecuencia, si \( f: X \rightarrow Y \) es sobreyectiva y \( X \) es finito, entonces \( Y \) debe ser finito.


¿Es correcto? o hay que demostrarlo distinto

[Luis Fuentes]

Hola

Intento:
Supongamos por contradicción que \( Y \) es infinito y \( X \) es finito, y que f es una función sobreyectiva \( f: X \rightarrow Y \).

Dado que \( f \) es sobreyectiva, cada elemento en \( Y \) tiene al menos un preimagen en \( X \), pero debido a la finitud de \( X \), hay solo un número finito de elementos en \( X \) disponibles para ser preimágenes.

Por lo tanto, habrá al menos un elemento en \( Y \) que tiene múltiples preimágenes en \( X \). Llamémosle \( y_1 \). Esto contradice la definición de función, ya que una función asigna a cada elemento en el dominio exactamente un elemento en el codominio. Si \( y_1 \) tiene múltiples preimágenes en \( X \), entonces \( f \) no es una función.

Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que existe una función sobreyectiva de un conjunto finito \( X \) a un conjunto infinito \( Y \) es falsa. En consecuencia, si \( f: X \rightarrow Y \) es sobreyectiva y \( X \) es finito, entonces \( Y \) debe ser finito.

¿Es correcto? o hay que demostrarlo distinto

Es correcto. Aunque te hago la misma observación que hice en un resultado análogo:

Conste que a la hora de demostrar eso siendo un poco "tiquismiquis" había que saber exactamente que definición de conjunto finito manejas y que resultados previos sobre el asunto ya tienes probados.

Saludos.