[Luis Fuentes]

Hola

Hola , no veo que sea error relacionar las tangentes, no sé si mi deducción es correcta o no pero llegué a dibujar a mano alzada el mismo grafico y a publicar una relación  entre tangentes también, no me he fijado si coincidimos.
Solo cabría aplicar un límite máximo al ángulo de incidencia $$\theta_0$$,  lo demás creo esta bien.

Simplemente para que mi argumento funcione es necesario que el cociente de las tangentes de los dos ángulos sea constante (sólo dependa del índice de refracción de cada medio); eso es falso.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

 Por completar un poco la solución que di, si los datos son:

 - \( x \) anchura del rectángulo
 - \( y_1 \) altura de la parte inferior del rectángulo
 - \( y_2 \) altura de la parte superior del rectángulo
 - \( r=n_1/n_2 \) cociente de los dos índices de refracción.

Entonces si un rayo sale del punto \( P \) con pendiente \( m=tan(\theta) \):

 - Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es racional entonces necesariamente el rayo termina por volver al punto de partida.

Spoiler

Grosso modo: Basta tener en cuenta que si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r}=\dfrac{p}{q} \) entonces:

 \( mxq=(y_1+y_2\cdot r)p \)

 y si \( t=2xq \) entonces:

 \( (t,tm)=(2xq,2(y_1+y_2\cdot r)p) \) con \( p,q \) enteros

 Lo cual quiere decir que la recta de vector director \( (1,m) \) termina por unir cualquier punto del rectángulo original (deformado) con un simétrico.

[cerrar]

 - Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es irracional entonces el rayo no vuelve a su punto de partida y describe una trayectoria densa en el rectángulo:

 https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102818.msg408083#msg408083[/color]

 Esto se puede arreglar un poco.

 La ley de Snell establece una relación lineal entre los senos de los ángulos; en lo que escribí arriba, para que funcione, \( r \) es una relación entre las pendientes.

 Entonces si \( sin(\theta_1)=c\cdot sin(\theta_2) \), se puede establecer una relación entre las tangentes \( tan(\theta_1)=r(\theta_1)tan(\theta)_2 \), con la diferencia que ahora depende del ángulo; no es constante. Entonces lo que antes escribí quedaría así:

- Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r(m)} \) es racional entonces necesariamente el rayo termina por volver al punto de partida.

 - Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r(m)} \) es irracional entonces el rayo no vuelve a su punto de partida y describe una trayectoria densa en el rectángulo:

La diferencia es que ahora \( r(m) \) es una función; se puede detallar, pero es lo de menos. La cosa es que es continua y por tanto dado que ese cociente no es constante desde luego tomará valores racionales, es decir, hay ángulos para los cuales se llega al punto de partida.

Saludos.

[ani_pascual]

Según la ley de Snell

$$\dfrac{\sin \theta_0}{n_0}=\dfrac{\sin \theta_1}{n_1}$$

Hola:
¿No es así:
\( n_0\sen\theta_0=n_1\sen\theta_1 \) ?
Saludos 🖐🏻

[ancape]

Hola

Creo que la pregunta de S.S era decidir si existe, una vez elegido el punto \( P \) de partida, un ángulo \( \theta_1 \) de forma que el rayo que parte de \( P \) con ese ángulo, vuelva a pasar por \( P \).

Creo que la razón que di en mi comentario anterior prueba que SIEMPRE existe tan ángulo. Allí expuse un caso particular para hacer el gráfico y dejé la frase 'podemos probar contando ángulos lo que el gráfico sugiere y he expuesto antes' para animar a elaborar una demostración mas fiable. En vista de que no lo he conseguido, voy a tratar de dar esa demostración.

Supongamos elegido un punto \( P \) en Zona A. Fijemos un punto \( P_2 \) en la frontera de fases \( p \), es decir un primer ángulo \( \theta_1 \). El segundo tramo del recorrido forma un ángulo con \( p \) de \( arcsin(\displaystyle\frac{sin(\theta_1)}{a}) \) (a=cociente de los índices de refracción) o \( \theta_1 \) según que el punto de rebote \( I \) esté en la Zona B o la Zona A. En cualquier caso si desplazamos \( P_2 \) a \( P'_2 \) obtenemos un nuevo segmento \( P'_2I'  \)paralelo a \( P_2I \). El segmento \( IJ \) es paralelo, por la misma razón al nuevo \( I'J' \) obtenido al desplazar \( P_2 \). En general, la nueva gráfica que se obtiene al mover \( P_2 \) tiene sus segmentos componentes paralelos a los homólogos de la gráfica anterior. Esto prueba que \( P \) vuelve a pertenecer a la gráfica de rebotes para alguna elección de \( P_2 \). Otra cosa es evaluar exactamente el ángulo \( \theta_1 \) para tal hecho. La demostración que he presentado para comprobar su existencia no creo que sea apropiada para este cálculo pues hay muchas variables en juego. Por ejemplo el número de rebotes dados para volver a alcanzar el punto \( P \). No obstante, la solución del problema numérico no es difícil. Para cada ángulo \( \theta_1 \) evaluamos la distancia de \( P \) a los diferentes tramos rectilíneos de la trayectoria que genera este ángulo y definimos la función \( f \) que hace corresponder a cada \( \theta_1 \) el valor mínimo de tales distancias. El ángulo \( \theta_1 \) buscado es el valor de \( \theta_1 \) en que \( f \) se anula. Tal valor puede calcularse con métodos numéricos con la precisión que se desee. Si tengo tiempo y ganas, haré una hoja de Geogebra con tal construcción.

Saludos

La Ley de Snell con el matiz de los senos, impide calcular explícitamente los ángulos de salida para que la ruta vuelva a contener a P. No obstante, la existencia de  ángulos de salida para este hecho queda demostrada tanto por el razonamiento de Luis como por el mío. Tal existencia permite aplicar métodos numéricos para la obtención aproximada de ángulos de partida.

Saludos

[Richard R Richard]

Según la ley de Snell

$$\dfrac{\sin \theta_0}{n_0}=\dfrac{\sin \theta_1}{n_1}$$

Hola:
¿No es así:
\( n_0\sen\theta_0=n_1\sen\theta_1 \) ?
Saludos 🖐🏻

Sí que es así , como dices, que no lo chequeé ni siquiera en la wikipedia al menos, que memoria...!!!

[Richard R Richard]

Segun el grafico de ani_pascual , si llamo h al espesor de la capa de arriba y d al de la de abajo.


\( A=(x_A,y_A)=(x_0\ ,\ y_0) \)

\( B=(x_B,y_B)=(x_0+(d-y_0)\tan\theta_0\ ,\ d) \)

\( C=(x_C,y_C)=(x_B+h\tan\theta_1,d+h) \)

\( D=(x_D,y_D)=(L\ ,\ d+h-(L-x_C)/\tan\theta_1) \)

\( E=(x_E,y_E)=(L-(y_D-d)\tan\theta_1\ ,\ d) \)

\( F=(x_F,y_F)=(x_E-d\tan\theta_0\ ,\ 0) \)

\( G=(x_G,y_G)=(0\ ,\ x_F/\tan\theta_0) \)

pero \( G \) puede escribirse como

\( G=(0\ ,\ y_0-x_0/\tan\theta_0) \)

Por igualación de la componente \( y \) de \( G \)

\( x_F =y_0\tan\theta_0-x_0 \)

reemplazando esto en \( F \)

\( x_E-d\tan\theta_0=y_0\tan\theta_0-x_0 \)

\( x_E=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)

ahora reemplazando en \( E \)

\( L-(y_D-d)\tan\theta_1=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)

\( L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0=(y_D-d)\tan\theta_1 \)

\( \dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+d=y_D \)

reemplazando en \( D \)

\( \cancel d+h-\dfrac{(L-x_C)}{\tan\theta_1}=\dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+\cancel d \)

\( h\tan\theta_1-(L-x_C)=L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)

\( h\tan\theta_1+x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)

\( x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)

reemplazando en \( C \)

\( x_B+h\tan\theta_1=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)

\( x_B=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-2h\tan\theta_1 \)

reemplazando en \( B \)

\( \cancel {x_0}+(d-y_0)\tan\theta_0=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+\cancel{x_0}-2h\tan\theta_1 \)

\( (d-\cancel{y_0})\tan\theta_0=2L-(\cancel{y_0}+d)\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

\( d\tan\theta_0=2L-d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

\( 0=2L-2d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

llegando a

\( L=d\tan\theta_0+h\tan\theta_1 \)    Ec=1

ahora usando bien la ley de Snell

\( n_0\sin\theta_0=n_1\sin\theta_1 \)

con \( n_1<n_0 \quad\to\quad  \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)

y sabiendo que \( \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta} \)

y llamando $$w =\sin\theta$$ y reemplazando

\( \dfrac{wn_0}{n_1}=\sin\theta_1 \)

entonces reemplazando en la Ec 1

\( L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{wn_0}{n_1\sqrt{1-\color{blue}\dfrac{n_0^2}{n_1^2}\color{black}w^2}} \)

\( \boxed{L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{w}{\sqrt{\color{blue}\dfrac{n_1^2}{n_0^2}\color{black}-w^2}}} \) Corregido


Se puede graficar en geogebra y ver que hay una raíz real entre 0 y 1 , lo cual permite calcular el seno  , lo que no soy ducho para ver si el arcoseno esa raíz $$w$$ es menor o mayor al ángulo de reflexión total  \( \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)

pero vi que ciertas combinaciones son posibles y otras no pues el ángulo es mayor al máximo de la refracción.

[ani_pascual]

Segun el grafico de ani_pascual , si llamo h al espesor de la capa de arriba y d al de la de abajo.


\( A=(x_A,y_A)=(x_0\ ,\ y_0) \)

\( B=(x_B,y_B)=(x_0+(d-y_0)\tan\theta_0\ ,\ d) \)

\( C=(x_C,y_C)=(x_B+h\tan\theta_1,d+h) \)

\( D=(x_D,y_D)=(L\ ,\ d+h-(L-x_C)/\tan\theta_1) \)

\( E=(x_E,y_E)=(L-(y_D-d)\tan\theta_1\ ,\ d) \)

\( F=(x_F,y_F)=(x_E-d\tan\theta_0\ ,\ 0) \)

\( G=(x_G,y_G)=(0\ ,\ x_F/\tan\theta_0) \)

pero \( G \) puede escribirse como

\( G=(0\ ,\ y_0-x_0/\tan\theta_0) \)

Por igualación de la componente \( y \) de \( G \)

\( x_F =y_0\tan\theta_0-x_0 \)

reemplazando esto en \( F \)

\( x_E-d\tan\theta_0=y_0\tan\theta_0-x_0 \)

\( x_E=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)

ahora reemplazando en \( E \)

\( L-(y_D-d)\tan\theta_1=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)

\( L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0=(y_D-d)\tan\theta_1 \)

\( \dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+d=y_D \)

reemplazando en \( D \)

\( \cancel d+h-\dfrac{(L-x_C)}{\tan\theta_1}=\dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+\cancel d \)

\( h\tan\theta_1-(L-x_C)=L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)

\( h\tan\theta_1+x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)

\( x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)

reemplazando en \( C \)

\( x_B+h\tan\theta_1=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)

\( x_B=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-2h\tan\theta_1 \)

reemplazando en \( B \)

\( \cancel {x_0}+(d-y_0)\tan\theta_0=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+\cancel{x_0}-2h\tan\theta_1 \)

\( (d-\cancel{y_0})\tan\theta_0=2L-(\cancel{y_0}+d)\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

\( d\tan\theta_0=2L-d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

\( 0=2L-2d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)

llegando a

\( L=d\tan\theta_0+h\tan\theta_1 \)    Ec=1

ahora usando bien la ley de Snell   

\( n_0\sin\theta_0=n_1\sin\theta_1 \)

con \( n_1<n_0 \quad\to\quad  \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)

y sabiendo que \( \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta} \)

y llamando \( w =\sin\theta_0 \) y reemplazando

\( \dfrac{wn_0}{n_1}=\sin\theta_1 \)

entonces reemplazando en la Ec 1

\( L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{wn_0}{n_1\sqrt{1-\textcolor{red}{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}}w^2}} \)

\( \boxed{L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{w}{\textcolor{blue}{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}}\sqrt{\dfrac{n_0^2}{n_1^2}-w^2}}} \)


Se puede graficar en geogebra y ver que hay una raíz real entre 0 y 1 , lo cual permite calcular el seno  , lo que no soy ducho para ver si el arcoseno esa raíz $$w$$ es menor o mayor al ángulo de reflexión total  \( \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)

pero vi que ciertas combinaciones son posibles y otras no pues el ángulo es mayor al máximo de la refracción.

Hola:
  Veo que has generalizado los cálculos que hice para espesores de las capas arbitrarios \( d,h \) en lugar de tomarlos iguales como hice yo. He seguido tus cálculos y salvo alguna errata, los veo correctos. 
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:
  Veo que has generalizado los cálculos que hice para espesores de las capas arbitrarios \( d,h \) en lugar de tomarlos iguales como hice yo. He seguido tus cálculos y salvo alguna errata, los veo correctos. 
Saludos

Gracias me hiciste ver que se me cruzaron los subíndices, y los he corregido.

Como incluyo una imagen dinámica de geogebra... he probado lo que creía correcto y no funciona, que puedo leer?



Ai ta!!!!!  Salió, Gracias Luis



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Como incluyo una imagen dinámica de geogebra... he probado lo que creía correcto y no funciona, que puedo leer?

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=12654.msg52694#msg52694

Saludos.

[S.S]

Hola a todos. Graacias por las respuestas.

Estoy intentando revisar las respuestas \( \color{red}{\#13} \) y #25 de ani_pascual y Richard R Richard respectivamente, mas no estoy consiguiendo sacar la primera coordenada del punto \( B \), pienso que es la interseccion de la recta que pasa por el punto \( (x_{0},y_{0}) \) con pendiente \( tan(\theta_{1}) \)  \( (\theta_{0}) \), mas no sé porque no me da.

La recta que va por el punto en mencion es \( y= (x-x_{0}) tan(\theta_{1}) + y_{0} \), mas al sustituir  \( y=a \) no sale, ¿ Qué estoy haciendo mal?

Otra cuestion es la siguiente ¿Cuando un rayo rebote de la parte superior para la frontera que divide los dos medios, ahí tengo que de nuevo tener en cuenta el ángulo crítico o esto es solo para cuando el rayo de luz va del medio con mayor indice de refracción al de menor refracción?

Gracias de nuevo.