[Carlos Ivorra]

  Adjunto el cálculo de la divergencia del campo gravitatorio:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{\partial g_x }{\partial x}+\frac{\partial g_y }{\partial y}+\frac{\partial g_z }{\partial z}
 \)

  \( A = \left ( x^2+y^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}} \)

\( \frac{\partial g_x }{\partial x}= \frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 x^2}{A^2} =\frac{A-3x^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\(  \frac{\partial g_y }{\partial y}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 y^2}{A^2} =\frac{A-3y^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\( \frac{\partial g_z }{\partial z}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 z^2}{A^2} =\frac{A-3z^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

    Sustituyendo todo queda lo esperado:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{3A-3\left (x^2+y^2+z^2\right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}=\frac{3A-3A}{A^2}=0
 \)

     Aplausos retirados

Ya es la segunda cosa que pones en este hilo y que no es una tontería. La oficialidad está orgullosa de tus progresos. Tú has demostrado que:

Falsa alarma. En tus respuestas posteriores se ve que tú mismo no te crees tus propios cálculos.

La divergencia del campo gravitatorio creado por una partícula puntual en cualquier punto del espacio distinto del punto que ocupa la partícula vale 0.

Quiero pensar que entenderás que eso no depende de la elección del sistema de referencia, ¿no?

Si consideras que la partícula está situada en el punto de coordenadas \( (a, b, c) \), entonces su campo gravitatorio tiene coordenadas

\( g_x= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a)} \)

\( g_y= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b)} \)

\( g_z= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c)} \)

Y se sigue cumpliendo que \( \mbox{div}\,\vec g  =0 \). ¿Estás de acuerdo en que esto es así o consideras que con esto estoy introduciendo las sucias mentiras con las que la oficialidad corrompe a la juventud?

Si estás de acuerdo y tienes dos partículas puntuales de masas \( m, m' \), situadas en los puntos \( (a, b, c) \) y \( (a', b', c') \), entonces el campo generado por ambas tendrá coordenadas:

\( g_x= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a')} \)

\( g_y= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b')} \)

\( g_z= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c')} \).

Esto responde a tu primera pregunta, sin necesidad de suponer que las masas son iguales ni de restringirnos a la recta que pasa por las partículas.

Para responder a la segunda pregunta, tenemos que ver si entiendes este hecho general (que cualquier estudiante de física sabe, pero falta ver si lo entiendes tú):

Supón que tenemos dos campos \( \vec g^1 \) y \( \vec g^2 \), con coordenadas

\( \vec g^1 = (g^1_x, g^1_y, g^1_z),\qquad \vec g^2 = (g^2_x, g^2_y, g^2_z) \).

Entonces:

\( \displaystyle \mbox{div}\vec g_1 = \frac{\partial g_x^1}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^1}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^1}{\partial z},\qquad \mbox{div}\vec g_2 = \frac{\partial g_x^2}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^2}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^2}{\partial z} \)

Por consiguiente:

\( \displaystyle \mbox{div}(\vec g^1+\vec g^2) = \frac{\partial (g_x^1+g_x^2)}{\partial x}+ \frac{\partial (g_y^1+g_y^2)}{\partial y}+ \frac{\partial (g_z^1+g_z^2)}{\partial z}=  \frac{\partial g_x^1}{\partial x}+\frac{\partial g_x^2}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^1}{\partial y}+ \frac{\partial g_y^2}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^1}{\partial z}+\frac{\partial g_z^2}{\partial z}=\mbox{div}\vec g^1+\mbox{div}\vec g^2 \).

En resumen:

La divergencia de la suma de dos campos (en cualquier punto en el que ambos estén definidos) es la suma de sus divergencias.

¿Estás de acuerdo con este cálculo elemental o esto ya te supera? Porque si estás de acuerdo con este cálculo, la pregunta que me haces es de lo más bobo una vez te has convencido de que la divergencia del campo de una partícula puntual es 0. Si tienes dos partículas puntuales (sin necesidad de que sus masas sean iguales), la divergencia del campo que generan (en cualquier punto distinto de los puntos que ocupan) es

\( \mbox{div}\vec g^1+\mbox{div}\vec g^2 = 0 + 0 = 0 \)

¡La divergencia del campo generado por dos partículas es cero! ¡Y la divergencia del campo generado por un millón de partículas, las distribuyas como las quieras distribuir, aunque las pongas en forma de corazoncito, y tengan las masas que tengan es cero!  ¿Sí o sí?

  Ahora Carlos, ya he realizado lo que me has pedido ahora te toca calcular exactamente, ni más ni menos, lo que yo te pido a continuación:

dibujo 2 masas


   1) Desearía que calcularas el  campo gravitatorio  que crea un  sistemas de 2 masas  puntuales  de igual masa, m, pero sólo en los puntos del espacio de la recta que une las 2 partículas, excluyendo la posición de las 2 partículas.

  2) Después que calcules la divergencia de este campo para esos puntos del espacio anterior.


     Sólo eso pero ni más ni menos, no generalices a nada, no es necesario.

¿Pero cómo no voy a generalizar si es trivial que el resultado es 0, valgan las masas lo que valgan o consideres el punto que consideres? ¡La divergencia de la suma es la suma de las divergencias! ¿Es posible que no sepas eso y te llames físico? Si llenas una superficie esférica con un millón de particulitas puntuales, el campo que generan tendrá divergencia 0 en cualquier punto no ocupado por una de las partículas.

¿Por qué será que, aunque lo racional sería apostar a que esto te convencerá de que no tienes ni idea de lo que dices cuando hablas de divergencia no nula en puntos sin masa, algo me dice que me vas a salir con la física de tu mundo de unicornios rosa?

[AlbertR]

Perdón por la intromisión que no tiene intención de molestar y que no altera nada el fondo del tema tratado, (creo que muchas veces soy en exceso tiquismiquis con el léxico), pero opino que estas 3 veces que dices "coordenadas" que he marcado en rojo:

...Si consideras que la partícula está situada en el punto de coordenadas \( (a, b, c) \), entonces su campo gravitatorio tiene coordenadas...

...Si estás de acuerdo y tienes dos partículas puntuales de masas \( m, m' \), situadas en los puntos \( (a, b, c) \) y \( (a', b', c') \), entonces el campo generado por ambas tendrá coordenadas...

...Supón que tenemos dos campos \( \vec g^1 \) y \( \vec g^2 \), con coordenadas...

Sería mas preciso decir "componentes"

Saludos.

[DCM]

  Adjunto el cálculo de la divergencia del campo gravitatorio:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{\partial g_x }{\partial x}+\frac{\partial g_y }{\partial y}+\frac{\partial g_z }{\partial z}
 \)

  \( A = \left ( x^2+y^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}} \)

\( \frac{\partial g_x }{\partial x}= \frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 x^2}{A^2} =\frac{A-3x^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\(  \frac{\partial g_y }{\partial y}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 y^2}{A^2} =\frac{A-3y^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\( \frac{\partial g_z }{\partial z}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 z^2}{A^2} =\frac{A-3z^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

    Sustituyendo todo queda lo esperado:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{3A-3\left (x^2+y^2+z^2\right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}=\frac{3A-3A}{A^2}=0
 \)

  

Ya es la segunda cosa que pones en este hilo y que no es una tontería. La oficialidad está orgullosa de tus progresos. Tú has demostrado que:

La divergencia del campo gravitatorio creado por una partícula puntual en cualquier punto del espacio distinto del punto que ocupa la partícula vale 0.

Quiero pensar que entenderás que eso no depende de la elección del sistema de referencia, ¿no?

Si consideras que la partícula está situada en el punto de coordenadas \( (a, b, c) \), entonces su campo gravitatorio tiene coordenadas

\( g_x= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a)} \)

\( g_y= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b)} \)

\( g_z= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c)} \)

Y se sigue cumpliendo que \( \mbox{div}\,\vec g  =0 \). ¿Estás de acuerdo en que esto es así o consideras que con esto estoy introduciendo las sucias mentiras con las que la oficialidad corrompe a la juventud?

Si estás de acuerdo y tienes dos partículas puntuales de masas \( m, m' \), situadas en los puntos \( (a, b, c) \) y \( (a', b', c') \), entonces el campo generado por ambas tendrá coordenadas:

\( g_x= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(x-a')} \)

\( g_y= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(y-b')} \)

\( g_z= -\frac{Gm }{\left ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c)}-\frac{Gm' }{\left ((x-a')^2+(y-b')^2+(z-c')^2 \right) ^\frac{3}{2}}{(z-c')} \).

Esto responde a tu primera pregunta, sin necesidad de suponer que las masas son iguales ni de restringirnos a la recta que pasa por las partículas.

Para responder a la segunda pregunta, tenemos que ver si entiendes este hecho general (que cualquier estudiante de física sabe, pero falta ver si lo entiendes tú):

Supón que tenemos dos campos \( \vec g^1 \) y \( \vec g^2 \), con coordenadas

\( \vec g^1 = (g^1_x, g^1_y, g^1_z),\qquad \vec g^2 = (g^2_x, g^2_y, g^2_z) \).

Entonces:

\( \displaystyle \mbox{div}\vec g_1 = \frac{\partial g_x^1}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^1}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^1}{\partial z},\qquad \mbox{div}\vec g_2 = \frac{\partial g_x^2}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^2}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^2}{\partial z} \)

Por consiguiente:

\( \displaystyle \mbox{div}(\vec g^1+\vec g^2) = \frac{\partial (g_x^1+g_x^2)}{\partial x}+ \frac{\partial (g_y^1+g_y^2)}{\partial y}+ \frac{\partial (g_z^1+g_z^2)}{\partial z}=  \frac{\partial g_x^1}{\partial x}+\frac{\partial g_x^2}{\partial x}+ \frac{\partial g_y^1}{\partial y}+ \frac{\partial g_y^2}{\partial y}+ \frac{\partial g_z^1}{\partial z}+\frac{\partial g_z^2}{\partial z}=\mbox{div}\vec g^1+\mbox{div}\vec g^2 \).

En resumen:

La divergencia de la suma de dos campos (en cualquier punto en el que ambos estén definidos) es la suma de sus divergencias.

¿Estás de acuerdo con este cálculo elemental o esto ya te supera? Porque si estás de acuerdo con este cálculo, la pregunta que me haces es de lo más bobo una vez te has convencido de que la divergencia del campo de una partícula puntual es 0. Si tienes dos partículas puntuales (sin necesidad de que sus masas sean iguales), la divergencia del campo que generan (en cualquier punto distinto de los puntos que ocupan) es

\( \mbox{div}\vec g^1+\mbox{div}\vec g^2 = 0 + 0 = 0 \)

¡La divergencia del campo generado por dos partículas es cero! ¡Y la divergencia del campo generado por un millón de partículas, las distribuyas como las quieras distribuir, aunque las pongas en forma de corazoncito, y tengan las masas que tengan es cero!  ¿Sí o sí?

  Ahora Carlos, ya he realizado lo que me has pedido ahora te toca calcular exactamente, ni más ni menos, lo que yo te pido a continuación:

dibujo 2 masas


   1) Desearía que calcularas el  campo gravitatorio  que crea un  sistemas de 2 masas  puntuales  de igual masa, m, pero sólo en los puntos del espacio de la recta que une las 2 partículas, excluyendo la posición de las 2 partículas.

  2) Después que calcules la divergencia de este campo para esos puntos del espacio anterior.


     Sólo eso pero ni más ni menos, no generalices a nada, no es necesario.

¿Pero cómo no voy a generalizar si es trivial que el resultado es 0, valgan las masas lo que valgan o consideres el punto que consideres? ¡La divergencia de la suma es la suma de las divergencias! ¿Es posible que no sepas eso y te llames físico? Si llenas una superficie esférica con un millón de particulitas puntuales, el campo que generan tendrá divergencia 0 en cualquier punto no ocupado por una de las partículas.

¿Por qué será que, aunque lo racional sería apostar a que esto te convencerá de que no tienes ni idea de lo que dices cuando hablas de divergencia no nula en puntos sin masa, algo me dice que me vas a salir con la física de tu mundo de unicornios rosa?

   Hola carlos, al final no has seguido mis indicaciones y debido a esto no has visto el tesoro mejor escondido, es broma.
   Hay que hacer el ejercicio para un caso muy particular  y no para un caso genérico como has hecho, para poder verlo.
  Para ello, suponemos:
  -  Las 2 masas son iguales 
  -  Una de ellas está en el origen de coordenadas P1(0,0,0)
   -  La otra masa están en eje X a una distancia R de la otra   P2(R,0,0). 
  -  Los puntos donde  vamos a calcular el campo gravitatorio son los puntos P(x,00), para x>0 y x< R

   Con esto todo se simplifica mucho  todo y calculamos el campo en la línea recta que une los 2 masas.

   Con ello, tenemos que en cada punto P(x,0,0), tenemos 2 vector gravedad que sólo tienen componente en el eje X. 
  \( g1 = -\frac{Gm}{x^2} i \) 
 \( g2=  \frac{Gm}{\left ( R-x \right)^2} i \)

    Si ahora realizamos la divergencia del campo total g=g1 + g2  obtenemos

  d\( iv g = 2Gm\left( \frac{1}{x^3} + \frac{1}{\left ( R-x \right)^3} \right) \neq 0 \)

   Lo primero que vemos  es que la divergencia no es cero para estos puntos y  también se puede ver que   div g > 0.

   Esto es lo que os mostré en mensajes anteriores pero realizado con coordenadas esféricas.

   El campo que se genera en la línea  que une las 2 masas es distinto pues, es cero en R/2  y - infinito en los puntos para x=0=R. Esto provoca que la divergencia no sea cero, sino positiva.

 
   
   Un saludo.

[feriva]

Hola, DCM. Sólo una sugerencia. Dado que el hilo ha derivado bastante entre ley de Gauss y demás, ¿por qué no abres otro con un título distinto? Lo va a leer más gente que con el título que has puesto; muchos pensarán que eres un terraplanista o algo así y no harán ni caso.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

   Hay que hacer el ejercicio para un caso muy particular  y no para un caso genérico como has hecho, para poder verlo.

Pasmoso. Un caso particular puede contradecir al caso general. Y dices eso sin pestañear. No creo que puedas caer intelectualmente más bajo.

Necedades típicas de este hilo

  Para ello, suponemos:
  -  Las 2 masas son iguales
  -  Una de ellas está en el origen de coordenadas P1(0,0,0)
   -  La otra masa están en eje X a una distancia R de la otra   P2(R,0,0).
  -  Los puntos donde  vamos a calcular el campo gravitatorio son los puntos P(x,00), para x>0 y x< R

   Con esto todo se simplifica mucho  todo y calculamos el campo en la línea recta que une los 2 masas.

   Con ello, tenemos que en cada punto P(x,0,0), tenemos 2 vector gravedad que sólo tienen componente en el eje X.
  \( g1 = -\frac{Gm}{x^2} i \) 
 \( g2=  \frac{Gm}{\left ( R-x \right)^2} i \)

    Si ahora realizamos la divergencia del campo total g=g1 + g2  obtenemos

  d\( iv g = 2Gm\left( \frac{1}{x^3} + \frac{1}{\left ( R-x \right)^3} \right) \neq 0 \)

   Lo primero que vemos  es que la divergencia no es cero para estos puntos y  también se puede ver que   div g > 0.

   Esto es lo que os mostré en mensajes anteriores pero realizado con coordenadas esféricas.

   El campo que se genera en la línea  que une las 2 masas es distinto pues, es cero en R/2  y - infinito en los puntos para x=0=R. Esto provoca que la divergencia no sea cero, sino positiva.

[cerrar]

Bien. Así estamos perfilando cada vez más tu nivel de incompetencia. El resumen es:

1) Tienes el campo gravitatorio \( \vec g_A \) de una partícula situada en el punto A y el campo gravitatorio \( \vec g_B \) de otra partícula situada en otro punto B.

2) Tú mismo has llegado a calcular que \( \mbox{div}(\vec g_A) = \mbox{div}(\vec g_B) = 0 \) en todos los puntos distintos de A y B.

3) Pero te planteas calcular \( \mbox{div}(\vec g_A+\vec g_B) \) ¡¡y no te da cero!!, pero no dices, "me habré equivocado en algo, porque tiene que dar 0", sino que te parece tan natural que la divergencia de una suma no sea la suma de las divergencias.

Puesto que una divergencia no es más que una suma de derivadas: tu contribución más notable a la física de la gravitación es tu descubrimiento de que:

La derivada de una suma no siempre es igual a la suma de las derivadas.   (DCM dixit)

    

Así que tú vienes aquí convencido de que sabes lo que todos los físicos ignoran, que eres el sabio que señala a la luna mientras todos te miramos el dedo, pero resulta que no sabes que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.  ¡No sabes derivar y pretendes dar lecciones sobre lo que vale una integral cuyo cálculo está muy por encima del nivel requerido par entender cómo se deriva una suma!

Si te encuentras con alguien que presume de físico y luego resulta que no sabe cómo se deriva una suma de dos funciones, ¿llamarlo necio, mentecato y pretencioso te sigue pareciendo un ataque personal, o más bien una descripción fina y ajustada de su nivel de conocimiento y de su actitud?

¡¡No sabes derivar!! No es que eso sea un crimen, pero no saber derivar y tratar de decirle al mundo cómo se calcula una integral que requiere mucho más que saber derivar, ya está más cerca de serlo.

Anda y estúdiate las reglas de derivación, y estúdiate las demostraciones para ver si te convences de que las reglas como que la derivada de una suma es la suma de las derivadas se cumplen siempre, inexorablemente, sin excepciones, y que no puedes sumar dos campos cuyas derivadas suman cero y que la suma de las derivadas del resultado no sea cero. ¿O me estoy equivocando y sí que sabes derivar, pero tu problema es que no acabas de creerte que \( 0+0 = 0 \)?

[Carlos Ivorra]

Perdón por la intromisión que no tiene intención de molestar y que no altera nada el fondo del tema tratado, (creo que muchas veces soy en exceso tiquismiquis con el léxico), pero opino que estas 3 veces que dices "coordenadas" que he marcado en rojo:

...Si consideras que la partícula está situada en el punto de coordenadas \( (a, b, c) \), entonces su campo gravitatorio tiene coordenadas...

...Si estás de acuerdo y tienes dos partículas puntuales de masas \( m, m' \), situadas en los puntos \( (a, b, c) \) y \( (a', b', c') \), entonces el campo generado por ambas tendrá coordenadas...

...Supón que tenemos dos campos \( \vec g^1 \) y \( \vec g^2 \), con coordenadas...

Sería mas preciso decir "componentes"

Saludos.

Pues no sabría justificar esa precisión. Cualquier expresión de un campo vectorial estará en función de un sistema de referencia, lo que se traduce en que las cosas en cuestión serán las coordenadas del campo en una base determinada.

No sé si existirá alguna costumbre al respecto en la jerga habitual de los físicos, pero yo, puestos a usar para algo el término "componentes", lo usaría para hacer referencia, por ejemplo, a los números que componen cada elemento de \( \mathbb R^n \) cuando los vemos como algo absoluto, sin relación a ninguna base, pero justo eso no me parece que tenga cabida en ningún contexto físico, donde prácticamente todo se expresa en relación a un sistema de referencia y, por ende, a una base.

[Richard R Richard]

Pues no sabría justificar esa precisión. Cualquier expresión de un campo vectorial estará en función de un sistema de referencia, lo que se traduce en que las cosas en cuestión serán las coordenadas del campo en una base determinada.

No sé si existirá alguna costumbre al respecto en la jerga habitual de los físicos, pero yo, puestos a usar para algo el término "componentes", lo usaría para hacer referencia, por ejemplo, a los números que componen cada elemento de \( \mathbb R^n \) cuando los vemos como algo absoluto, sin relación a ninguna base, pero justo eso no me parece que tenga cabida en ningún contexto físico, donde prácticamente todo se expresa en relación a un sistema de referencia y, por ende, a una base.

No estoy seguro que sea una cuestión de costumbre, yo he entendido y creo que todos hemos entendido la idea de fondo que nos quieres transmitir sin ningún tipo de problema mayor, pero creo también que sí corresponde decir "componentes" en esos casos en vez de "coordenadas".

Como ejemplo propongo creo que esta bién decir

"Un campo vectorial $$\vec g(x,y,z)$$ tiene componentes $$(g_x(x,y,z),g_y(x,y,z),g_z(x,y,z))$$ en el punto del espacio de coordenadas $$(x,y,z)$$

No sé si hay regla definida, o acepción en la RAE o justificación pero así lo entiendo mejor, no sé si es más riguroso.

Pero bueno, que es anecdótico, que hilo no va de eso!!!, y no da para mucho más,me tenía fe en que lo iba a convencer y hacer ver a DCM de su error, pero si no hay base ni se detecta interés en entender...

Aver DCM  en que estás pensando hombre, como puedes escribir que un caso particular no  sigue la regla general ,  por el contrario si la regla general dice que algo es cero en todo el espacio entonces todo caso particular dará cero en cualquier punto del espacio.
Reitero por las dudas, si la regla general te dice que la divergencia de un campo definido como lo hicimos y da cero para cualquier punto del espacio, la divergencia en dos puntos también es cero en cualquiera de los puntos, y por supuesto aplicando las regla de la suma de divergencias, su suma es cero también, nada que debatir!, si no lo comprendes por favor  busca fuentes que ninguna dirá lo contrario, estudialó, convenceté y luego la seguimos.
Si tampoco comprendes que una línea de campo atraviesa un número "par" de veces cualquier superficie cerrada que no contenga la fuente del campo , la mitad de las veces entrando y la otra mitad saliendo, también merece que lo estudies y  sigamos el debate luego.

Saludos       

[DCM]

   Hay que hacer el ejercicio para un caso muy particular  y no para un caso genérico como has hecho, para poder verlo.

Pasmoso. Un caso particular puede contradecir al caso general. Y dices eso sin pestañear. No creo que puedas caer intelectualmente más bajo.

Necedades típicas de este hilo

  Para ello, suponemos:
  -  Las 2 masas son iguales
  -  Una de ellas está en el origen de coordenadas P1(0,0,0)
   -  La otra masa están en eje X a una distancia R de la otra   P2(R,0,0).
  -  Los puntos donde  vamos a calcular el campo gravitatorio son los puntos P(x,00), para x>0 y x< R

   Con esto todo se simplifica mucho  todo y calculamos el campo en la línea recta que une los 2 masas.

   Con ello, tenemos que en cada punto P(x,0,0), tenemos 2 vector gravedad que sólo tienen componente en el eje X.
  \( g1 = -\frac{Gm}{x^2} i \) 
 \( g2=  \frac{Gm}{\left ( R-x \right)^2} i \)

    Si ahora realizamos la divergencia del campo total g=g1 + g2  obtenemos

  d\( iv g = 2Gm\left( \frac{1}{x^3} + \frac{1}{\left ( R-x \right)^3} \right) \neq 0 \)

   Lo primero que vemos  es que la divergencia no es cero para estos puntos y  también se puede ver que   div g > 0.

   Esto es lo que os mostré en mensajes anteriores pero realizado con coordenadas esféricas.

   El campo que se genera en la línea  que une las 2 masas es distinto pues, es cero en R/2  y - infinito en los puntos para x=0=R. Esto provoca que la divergencia no sea cero, sino positiva.

[cerrar]

Bien. Así estamos perfilando cada vez más tu nivel de incompetencia. El resumen es:

1) Tienes el campo gravitatorio \( \vec g_A \) de una partícula situada en el punto A y el campo gravitatorio \( \vec g_B \) de otra partícula situada en otro punto B.

2) Tú mismo has llegado a calcular que \( \mbox{div}(\vec g_A) = \mbox{div}(\vec g_B) = 0 \) en todos los puntos distintos de A y B.   

3) Pero te planteas calcular \( \mbox{div}(\vec g_A+\vec g_B) \) ¡¡y no te da cero!!, pero no dices, "me habré equivocado en algo, porque tiene que dar 0", sino que te parece tan natural que la divergencia de una suma no sea la suma de las divergencias.

Puesto que una divergencia no es más que una suma de derivadas: tu contribución más notable a la física de la gravitación es tu descubrimiento de que:

La derivada de una suma no siempre es igual a la suma de las derivadas.   (DCM dixit)

    

Así que tú vienes aquí convencido de que sabes lo que todos los físicos ignoran, que eres el sabio que señala a la luna mientras todos te miramos el dedo, pero resulta que no sabes que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.  ¡No sabes derivar y pretendes dar lecciones sobre lo que vale una integral cuyo cálculo está muy por encima del nivel requerido par entender cómo se deriva una suma!

Si te encuentras con alguien que presume de físico y luego resulta que no sabe cómo se deriva una suma de dos funciones, ¿llamarlo necio, mentecato y pretencioso te sigue pareciendo un ataque personal, o más bien una descripción fina y ajustada de su nivel de conocimiento y de su actitud?

¡¡No sabes derivar!! No es que eso sea un crimen, pero no saber derivar y tratar de decirle al mundo cómo se calcula una integral que requiere mucho más que saber derivar, ya está más cerca de serlo.

Anda y estúdiate las reglas de derivación, y estúdiate las demostraciones para ver si te convences de que las reglas como que la derivada de una suma es la suma de las derivadas se cumplen siempre, inexorablemente, sin excepciones, y que no puedes sumar dos campos cuyas derivadas suman cero y que la suma de las derivadas del resultado no sea cero. ¿O me estoy equivocando y sí que sabes derivar, pero tu problema es que no acabas de creerte que \( 0+0 = 0 \)?

   Carlos te he marcado en verde lo que no es  totalmente correcto de tu análisis y para ello te lo explico a continuación.

     Carlos,   me pediste que calculase el campo que crea una partícula puntual de masa m localizada en un origen de coordenadas de un sistema cartesiano, para un punto que tuviera de coordenadas x,y,z,  lo hice.

        Luego me pediste que calculase la divergencia de este campo para un punto que tuviera coordenadas x,y,z,  también lo calculé y salió  que para un punto que tuviera coordenadas X, Y, Z ,  la divergencia del campo es nula.

  Adjunto el cálculo de la divergencia del campo gravitatorio:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{\partial g_x }{\partial x}+\frac{\partial g_y }{\partial y}+\frac{\partial g_z }{\partial z}
 \)

  \( A = \left ( x^2+y^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}} \)

\( \frac{\partial g_x }{\partial x}= \frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 x^2}{A^2} =\frac{A-3x^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\(  \frac{\partial g_y }{\partial y}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 y^2}{A^2} =\frac{A-3y^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\( \frac{\partial g_z }{\partial z}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 z^2}{A^2} =\frac{A-3z^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

    Sustituyendo todo queda lo esperado:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{3A-3\left (x^2+y^2+z^2\right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}=\frac{3A-3A}{A^2}=0 \)

Pero aquí hay algo que estamos suponiendo pero que no lo hemos dicho para que esto se cumpla.

  Hemos supuestos que
    \( x\neq 0 \)
    \( y\neq 0 \)
    \( z\neq 0 \)

    En el momento que alguno de las 3 coordenadas del punto P,   sea igual a 0,    la \( div g\neq 0
 \)

   Por favor, revisad que esto último que he dicho es cierto.

    Creo que estáis muy ciegos, por ello  os pido., por favor, lo siguiente:

      Calcular   la divergencia de este campo de una masa puntual en el origen de coordenadas  pero para un punto  que está localizado en el punto P(X,0,0) para x>0.  Y paso a paso exponer el resultado aquí en el hilo.

      Veréis que la divergencia no es cero en estos puntos, para este sistema cartesiano.

   Por otro lado decir que  está claro que mis cálculos de la divergencia en los puntos de la recta que une las 2 partículas están bien, pues sino, ya lo hubierais destrozado  denunciando dónde están los errores. A cambio sólo hay ninguneo hacia mi persona.

   Estáis cometiendo un error grave y es que os creéis unos resultados generales cuando realmente se están imponiendo restricciones en los puntos donde se calcula el campo, sin saberlo. Y por ello, hay casos particulares que van en contra de los resultados generales que se han preestablecido como ciertos.

  No fallen las reglas de derivación,  sí los resultados generales dados para cualquier punto del espacio que han surgido de restricciones que no se dicen, sobre los puntos.

    Esto os lo llevo diciendo desde mi mensaje del   día 27/09/23   y sin caso alguno. Pararos de una vez analizar sin desprecio a lo que estoy explicando.

  2)  Para entender mejor este resultado anterior y entender qué es lo que pasa realmente  propongo de nuevo el ejercicio del cálculo de la divergencia del sistema de 2 partículas  de masas puntuales, como expliqué en mi mensaje anterior,  pero calculándola en 2 tipos de puntos (excluidos los puntos donde hay masa)


  Dibujo 2 masas.



  a) Puntos que están  en la  línea recta de unión de las 2 partículas, pero entre ambas partículas, exceptuando los puntos donde están las 2 masas, denominado por P.
  b) El resto de puntos del espacio denominado por P_1

  Cálculo de la divergencia:
    - Caso b) Sea el punto \( P_1 \), dibujado en el esquema, el campo que crea cada partícula es un campo radial, cada uno con módulo  del tipo \( \frac{-k}{r_i^2} \), es decir, para \( r_i =0 \) es infinito y para \( r_i \)=infinito su valor es cero . Con esto la  divergencia  de este campo debido a las 2 masas  en este punto P_1 es:

    \( div\overrightarrow{ g}\left( \overrightarrow{P_1}\right)=div \left(\overrightarrow{g_1}\right) \left ( \overrightarrow{r _1}\right ) +\overrightarrow{g_2}\left ( \overrightarrow{r _2}\right )=  4\pi \delta^3\left (r_1   \right )+4\pi \delta^3\left (r_1-R)   \right )
 \)
      como  el punto P1 no hay  ninguna masa, entonces

           \( div\overrightarrow{ g}\left( \overrightarrow{P_1}\right)=0.
 \)

 - Caso a) Sea el punto P dibujado en el esquema, el campo que se crea  a lo largo de la recta es completamente distinto al caso anterior ya que este campo vale \( g(\frac{R}{2}= 0  \)y luego tiene a -infinito para r=0 y para r=R.   Calculemos el campo que hay en cada uno de estos puntos:

     \(  \overrightarrow{g_P}=\overrightarrow{g_1}+\overrightarrow{g_2}=Gm\left ( \frac{-1}{r^2}+\frac{1}{\left ( R-r \right )^2} \right )\overrightarrow{u_r}=
 \)

  Calculamos la divergencia del campo en estos puntos P:

  \(  div \overrightarrow{g_P}= \frac{1}{r^2}\left (  \frac{\partial}{\partial r}r^2 \left\|g_P \right\| \right )=  Gm\frac{1}{r^2}\left (  \frac{\partial}{\partial r} \frac{r^2}{ \left (R-r  \right )^2}  \right )
 \)
   calculando la derivada parcial y operando tenemos:

    \( div \overrightarrow{g_P}= 2Gm\frac{R}{r\left ( R-r \right )^3} > 0 \)   pues   R>r  y r>0

   En resumen  para todos los puntos de la línea recta que une las 2 partículas (excluimos los puntos que están las 2 partículas)  la divergencia del campo gravitatorio es positiva. Por lo que no es extraño el resultado que hemos obtenido en el caso del anillo, como hemos visto antes.

   Decir que este efecto desaparece cuando las masas m1 y m2  las juntamos haciendo R=0. Es decir, cuando las masas se hacen macizas la divergencia positiva desaparece.

   He estado revisando demostraciones del teorema de gauss y os puedo decir que en todos los casos lo que se observa es siempre el cálculo del campo en un punto exterior de la estructura másica y la masa está formando una estructura maciza. Pero los resultados se han extrapolado para todo tipo de estructuras de masas.

  Este es el error, pues al tener huecos en el interior de la estructura de masa, aparecen divergencias positivas, debido a que los campos gravitatorio cambian su expresión algebraica y por lo tanto para realizar un buen cálculo del campo gravitatorio en estas estructuras huecas es necesario contabilizar estas divergencias positivas ( o flujos de campo gravitatorio) que existen en su interior, por lo que las superficies gaussianas que utilicemos deben cerrar por completo tanto el exterior como el interior de estas estructuras. En caso contrario los resultados serán totalmente erróneos.

  Un saludo.

   Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

        Luego me pediste que calculase la divergencia de este campo para un punto que tuviera coordenadas x,y,z,  también lo calculé y salió  que para un punto que tuviera coordenadas X, Y, Z ,  la divergencia del campo es nula.

  Adjunto el cálculo de la divergencia del campo gravitatorio:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{\partial g_x }{\partial x}+\frac{\partial g_y }{\partial y}+\frac{\partial g_z }{\partial z}
 \)

  \( A = \left ( x^2+y^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}} \)

\( \frac{\partial g_x }{\partial x}= \frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 x^2}{A^2} =\frac{A-3x^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\(  \frac{\partial g_y }{\partial y}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 y^2}{A^2} =\frac{A-3y^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\( \frac{\partial g_z }{\partial z}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 z^2}{A^2} =\frac{A-3z^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

    Sustituyendo todo queda lo esperado:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{3A-3\left (x^2+y^2+z^2\right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}=\frac{3A-3A}{A^2}=0 \)

Pero aquí hay algo que estamos suponiendo pero que no lo hemos dicho para que esto se cumpla.

  Hemos supuestos que
    \( x\neq 0 \)
    \( y\neq 0 \)
    \( z\neq 0 \)

    En el momento que alguno de las 3 coordenadas del punto P,   sea igual a 0,    la \( div g\neq 0
 \)

 Es que eso te lo sacas de la manga. Tu mismo tienes el cálculo hecho ahí arriba. ¿Dónde influye que \( x \) sea cero ó que \( y \) sea cero ó \( z \) sea cero?. Lo único que no puede ser es que \( (x,y,z)=(0,0,0) \) (las tres cero al mismo tiempo), porque en ese caso el denominador \( A=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) sea anula y no tiene sentido (de hecho no está definido el campo).

   Por favor, revisad que esto último que he dicho es cierto.

 Revísalo tu, y si sigues pensado que estás en lo cierto indica CLARAMENTE porque el cálculo que tu mismo has hecho no se puede aplicar, por ejemplo en el punto \( (7,2,0) \) ó \( (0,0,3) \).

   Por otro lado decir que  está claro que mis cálculos de la divergencia en los puntos de la recta que une las 2 partículas están bien, pues sino, ya lo hubierais destrozado  denunciando dónde están los errores. A cambio sólo hay ninguneo hacia mi persona.

 Hay un cálculo muy elemental que muestra que la divergencia en esos puntos es cero. Si tu haces otros cálculos donde te sale algo distinto cero, están mal, eso seguro. Y a priori parece más fácil hacerte entender los cálculos correctos, que buscar tus errores. Más aún cuando la experiencia por tu s intervenciones en este foro demuestra que cometes errores en matemáticas muy gruesos y no eres capaz de verlos, aún cuando te los indican; es más crees que son todos los demás los que están errados.

 No obstante hago un intento:

   Hay que hacer el ejercicio para un caso muy particular  y no para un caso genérico como has hecho, para poder verlo.
  Para ello, suponemos:
  -  Las 2 masas son iguales
  -  Una de ellas está en el origen de coordenadas P1(0,0,0)
   -  La otra masa están en eje X a una distancia R de la otra   P2(R,0,0).
  -  Los puntos donde  vamos a calcular el campo gravitatorio son los puntos P(x,00), para x>0 y x< R

   Con esto todo se simplifica mucho  todo y calculamos el campo en la línea recta que une los 2 masas.

   Con ello, tenemos que en cada punto P(x,0,0), tenemos 2 vector gravedad que sólo tienen componente en el eje X.
  \( g1 = -\frac{Gm}{x^2} i \) 
 \( g2=  \frac{Gm}{\left ( R-x \right)^2} i \)

    Si ahora realizamos la divergencia del campo total g=g1 + g2  obtenemos

 MAL desde el principio.

 En lo que he marcado en rojo ya estás tomando un campo que no es el gravitatorio; te has cargado a machetazo dos componentes y has escrito la primera de ellas mal, ignorando las variables \( y,z \).

 Confundes que las componentes valgan cero en un punto, con que uno se las pueda "cargar" para hallar la derivada. Supongo que sabrás que la derivada es un concepto local, donde no sólo influye el valor de una función en el punto donde se deriva sino en un entorno del mismo.

 Por esa regla de tres, para calcular la divergencia en el punto \( (2,0,0) \) el campo que genera la carga en el origen sería simplemente:

\( g1 = -\frac{Gm}{2^2} i \)

 y la derivada/divergencia otra vez nula (aunque ahora resultado conseguido de manera tan disparatada como tu pretendes).

 Te pongo otro ejemplo a ver si lo entiendes. Es como si consideramos la función \( f(x)=2x \) y decimos, vamos a calcular su derivada en cualquier punto. Por las reglas básicas de derivación:

\( f'(x)=2 \)

y por tanto la derivada en todo punto, para todo valor de \( x \), es DOS. De acuerdo, ¿no?.

 Pero ahora vienes tu y dices: "no, voy a calcular la derivada en cero". En ese punto la función es \( f(0)=2\cdot 0=0 \) y por tanto su derivada es cero. ¿De acuerdo en que eso es un disparate y está mal? Pues es lo que haces tu en tu pretendido cálculo de la divergencia sobre los puntos de la recta que une dos masas puntuales.

Saludos.

[DCM]

Hola

        Luego me pediste que calculase la divergencia de este campo para un punto que tuviera coordenadas x,y,z,  también lo calculé y salió  que para un punto que tuviera coordenadas X, Y, Z ,  la divergencia del campo es nula.

  Adjunto el cálculo de la divergencia del campo gravitatorio:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{\partial g_x }{\partial x}+\frac{\partial g_y }{\partial y}+\frac{\partial g_z }{\partial z}
 \)

  \( A = \left ( x^2+y^2+x^2 \right )^{\frac{3}{2}} \)

\( \frac{\partial g_x }{\partial x}= \frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 x^2}{A^2} =\frac{A-3x^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\(  \frac{\partial g_y }{\partial y}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 y^2}{A^2} =\frac{A-3y^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

\( \frac{\partial g_z }{\partial z}=\frac{A-\frac{3}{2}\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}} 2 z^2}{A^2} =\frac{A-3z^2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}
 \)

    Sustituyendo todo queda lo esperado:

\( div \overrightarrow{g}=\frac{3A-3\left (x^2+y^2+z^2\right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^{\frac{^1}{2}}}{A^2}=\frac{3A-3A}{A^2}=0 \)

Pero aquí hay algo que estamos suponiendo pero que no lo hemos dicho para que esto se cumpla.

  Hemos supuestos que
    \( x\neq 0 \)
    \( y\neq 0 \)
    \( z\neq 0 \)

    En el momento que alguno de las 3 coordenadas del punto P,   sea igual a 0,    la \( div g\neq 0
 \)

 Es que eso te lo sacas de la manga. Tu mismo tienes el cálculo hecho ahí arriba. ¿Dónde influye que \( x \) sea cero ó que \( y \) sea cero ó \( z \) sea cero?. Lo único que no puede ser es que \( (x,y,z)=(0,0,0) \) (las tres cero al mismo tiempo), porque en ese caso el denominador \( A=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) sea anula y no tiene sentido (de hecho no está definido el campo).

   Por favor, revisad que esto último que he dicho es cierto.

 Revísalo tu, y si sigues pensado que estás en lo cierto indica CLARAMENTE porque el cálculo que tu mismo has hecho no se puede aplicar, por ejemplo en el punto \( (7,2,0) \) ó \( (0,0,3) \).

      Hola Luis, te contesto sobre los que has expuesto:
  1) 
       a)  Cuando algunas de las coordenadas del punto P(x,y,z) en el que queremos calcular el campo es cero, por ejemplo z=0, entonces puedes ver que la componente de la gravedad en ese eje z es cero.
          Si z=0 -->    \( g_z=0 \)   y su derivada parcial respecto a z es 0. En ese caso sólo tenemos  componentes\(   g_x \) y \( g_y  \)  y sus correspondiente derivadas parciales.

    Sustituyendo en las ecuaciones del cálculo de la divergencia de la gravedad nos queda:

     \( div g= \frac{2A-3A}{A}= -1 \)     para todo punto que z=0 , excepto el punto (0,0,0) que es donde está la partícula.

      b) Cuando  tenemos un punto P(x,0,0), entonces la gravedad sólo tiene una componente que es la del eje X, las componentes \( g_y =g_z=0 \)  y sus derivadas parciales  respecto a z e y son cero también.

      Sustituyendo en las ecuaciones  del cálculo de la divergencia de nuevo obtenemos:

     \( g_x= -\frac{Gm}{x^2}i \)     

     \( div g_x= \frac{2Gm}{x^3} \neq 0 \)

   2) Luis cuando cogemos un punto P(x,0,0) , con x=0,  para calcular la gravedad y la masa está en el punto origen (0,0,0), la gravedad sólo tiene componente en el eje X, y las componentes \( g_y \) y \( g_z \) son cero para cualquier punto x, por consiguiente, la derivada parcial de estas componentes respecto  z e y es cero y no van a influir en el cálculo de la divergencia.
       Por lo tanto el cálculo de la gravedad y de la divergencia  en la línea que une las 2 masas, es correcto.

      No te líes Luis.

 
  Un saludo.