[Zaragoza]

Hola a todos, encontré 3 problemas interesantes pero no logro concluirlos los mencionaré en 3 temas distintos para no sobrecargar:

2. Sean $$f_1,\dots,f_n:\Omega\to\mathbb{R}$$ funciones medibles integrables y $$\sigma:\Omega\to\{1,\dots,n\}$$ una función medible. Consideremos la función $$f:\Omega\to\mathbb{R}$$ dada por

$$f(x)=f_{\sigma(x)}(x)$$

Nos piden probar que $$f$$ es medible e integrable.

[Masacroso]

Hola a todos, encontré 3 problemas interesantes pero no logro concluirlos los mencionaré en 3 temas distintos para no sobrecargar:

2. Sean $$f_1,\dots,f_n:\Omega\to\mathbb{R}$$ funciones medibles integrables y $$\sigma:\Omega\to\{1,\dots,n\}$$ una función medible. Consideremos la función $$f:\Omega\to\mathbb{R}$$ dada por

$$f(x)=f_{\sigma(x)}(x)$$

Nos piden probar que $$f$$ es medible e integrable.

Si defines \( A_n:= \sigma ^{-1}(n) \) entonces cada \( A_n \) es medible y todos ellos representan una partición de \( \Omega  \), es decir que \( \Omega =\bigcup_{k=1}^n A_k \) y \( A_j\cap A_k=\emptyset  \) si \( j\neq k \) para \( k,j\in\{1,\ldots,n\} \), y si definimos

\( \displaystyle{
\tilde {f_k}(x):=\begin{cases}
f_k(x),&x\in A_k\\
0,& x\notin A_k
\end{cases}
} \)

tienes que \( f_{\sigma }=\tilde {f_1}+\tilde{f_2}+\ldots +\tilde {f_n} \), por tanto es suficiente con ver que cada función \( \tilde{f_k} \) es medible.

[Zaragoza]

Gracias nuevamente, lo terminé de la siguiente manera:
$$f(w)=f_{\sigma(w)}(w)=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(w)\cdot 1_{A_{k}}$$
como $$\sigma$$ es medible $$\Rightarrow A_k$$ medible $$\Rightarrow 1_{A_k}$$ medible. Entonces $$f$$ es medible. Además
$$\int_{\Omega}|f|d\mu=\int_{\cup A_k}|f|d\mu=\sum\int_{A_k}|f_k|d\mu<\infty$$ entonces $$f$$ es integrable.

[Masacroso]

Gracias nuevamente, lo terminé de la siguiente manera:
$$f(w)=f_{\sigma(w)}(w)=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(w)\cdot 1_{A_{k}}$$
como $$\sigma$$ es medible $$\Rightarrow A_k$$ medible $$\Rightarrow 1_{A_k}$$ medible. Entonces $$f$$ es medible. Además
$$\int_{\Omega}|f|d\mu=\int_{\cup A_k}|f|d\mu=\sum\int_{A_k}|f_k|d\mu<\infty$$ entonces $$f$$ es integrable.

Perfecto, una solución más clara que la que había propuesto ya que al utilizar funciones características es aún más obvio que la función resultante es medible.