Buenas,
El enunciado dice lo siguiente:
1. Sea \( f:R^3 \rightarrow R^3 \) una función. Decimos que \( f \) preserva las distancias, es decir, que para cualquier par de puntos \( P,Q \) se cumple \( d(P,Q) =d(f(P),f(Q)) \).
a) Probar que si \( f \) preserva la distancia entonces se verifica que \( ‖P−Q‖=‖f(P)−f(Q)‖ \), es decir,preserva la norma de los vectores.
b) Si sabemos ademas que \( f(O) =O \), probar que f preserva ángulos, es decir que si el angulo entre dos vectores no nulos \( u,v \) es \( \alpha \) entonces el angulo entre \( f(v) \) y \( f(u) \) también es \( \alpha \).
Para la parte (a):
\( ‖P−Q‖=‖f(P)−f(Q)‖ \) que se puede escribir como \( ‖\vec{QP}‖=‖\vec{f(Q)f(P)}‖ \) y esto se puede escribir como \( d(Q,P)=d(f(Q),f(P)) \) esto se cumple ya que por hipótesis \( f \) preserva la distancia.
Para la parte (b):
\( \displaystyle cos(\alpha)=\frac{\langle v,u \rangle}{‖v‖ \cdot ‖u‖} \) esto tendría que ser igual a \( \displaystyle cos(\alpha)=\frac{\langle f(v),f(u) \rangle}{‖f(v)‖ \cdot ‖f(u)‖} \)
Entiendo que ya demostré que se conservan las normas , así que me quedaría probar que el producto interno se mantiene, no se por donde empezar eso ni en donde debo utilizar el hecho de que \( f(O)=O \).
Cualquier ayuda es bienvenida.
Saludos,
Franco.
