[smc]

Hola buenas, se me ha planteado el siguiente problema y estoy teniendo algo de dificultad para hacerlo. Si alguien me echara una mano lo agradecería!

Sea \( A(t) \in M_n(\mathbb{R}) \) contínua en \( [0,1] \) y consideramos el sistema lineal \[ \dot{x}=A(t)x \].
Sea \( M(t) \) la matriz fundamental principal de esta. Suponemos que su única solución que cumple \( \varphi(0) = \varphi(1) \) es la solución \( \varphi(t) \equiv 0 \) (es decir, \( \varphi(0) = \varphi(1) = x \) si, y solo si, \( x=0 \))

a) Probad que \( det(M(1) -Id) \neq 0 \) (Indicación: Toda solución de la edo se escribe como \( \varphi(t)=M(t)x \) para alguna \( x\in \mathbb{R}^n \))

b) Sea \( b(t) \in \mathbb{R}^n \) contínua en \( [0,1] \). Consideramos el sistema no homogéneo asociado \( \dot{x}=A(t)x+b(t) \). Demostrad que existe una única solución \( \hat{\psi}(0) = \hat{\psi}(1) \). (Indicación: Para la existencia haced servir la fórmula de variación de las constantes para expresar una solución cualquiera de la edo por \( t_0=0 \); es decir, \( \psi(t;0,x) \), y determinad \( \hat{x} \) cumpliendo \( \psi(0;0,\hat{x}) = \psi(1;0,\hat{x}) \); así, \( \hat{\psi}(t) = \psi(t;0,\hat{x}) \))

c) Demostrad que existe una constante \( k > 0 \) (independiente de la función \( b(t) \)) tal que se cumple \( \left\|{f}\right\|=max_{t\in [0,1]} \left\|{f(t)}\right\| \) para toda \( f(t) \in \mathbb{R}^n \) (Indicación: Haced servir la ecuación de Volterra, el Lemma de Gronwall y el apartado b) ).


Gracias por vuestra ayuda!!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas, se me ha planteado el siguiente problema y estoy teniendo algo de dificultad para hacerlo. Si alguien me echara una mano lo agradecería!

Sea \( A(t) \in M_n(\mathbb{R}) \) contínua en \( [0,1] \) y consideramos el sistema lineal \[ \dot{x}=A(t)x \].
Sea \( M(t) \) la matriz fundamental principal de esta. Suponemos que su única solución que cumple \( \varphi(0) = \varphi(1) \) es la solución \( \varphi(t) \equiv 0 \) (es decir, \( \varphi(0) = \varphi(1) = x \) si, y solo si, \( x=0 \))

a) Probad que \( det(M(1) -Id) \neq 0 \) (Indicación: Toda solución de la edo se escribe como \( \varphi(t)=M(t)x \) para alguna \( x\in \mathbb{R}^n \))

Si \( det(M(1) -Id)=0 \) entonces \( 1 \) es autovalor de \( M(1) \), es decir, existe un vector no nulo tal que\(  M(1)u=u \). Pero entonces tomando la solución con condición inicial \( \varphi(0)=u\neq 0 \), \( \varphi(0)=M(0)u=M(1)u=\varphi(1)  \) lo cuál contradice las hipótesis.

b) Sea \( b(t) \in \mathbb{R}^n \) contínua en \( [0,1] \). Consideramos el sistema no homogéneo asociado \( \dot{x}=A(t)x+b(t) \). Demostrad que existe una única solución \( \hat{\psi}(0) = \hat{\psi}(1) \). (Indicación: Para la existencia haced servir la fórmula de variación de las constantes para expresar una solución cualquiera de la edo por \( t_0=0 \); es decir, \( \psi(t;0,x) \), y determinad \( \hat{x} \) cumpliendo \( \psi(0;0,\hat{x}) = \psi(1;0,\hat{x}) \); así, \( \hat{\psi}(t) = \psi(t;0,\hat{x}) \))

Para la unicidad ten en cuenta que la diferencia de dos tales soluciones es una solución de la homogénea cumpliendo \( \varphi(0)=\varphi(1) \) y por hipótesis la única solución en esas condiciones es nula.

Para la existencia busca una solución de la forma: \( x(t)=M(t)c(t) \).

Saludos.