¿Cómo puedo probar que si \( (X,M,\mu) \) es un espacio de medida completo entonces \( (L^1(\mu),\left\|{·}\right\|_{1}) \) es un espacio de Banach?
Siendo \( L^1(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrales, se prueba fácilmente que es un espacio vectorial y que la expresión \( \left\|{f}\right\|_{1}=\displaystyle\int_{X}\left |{f}\right |d\mu \) define una norma en él.
Se me indica que puedo usar la siguiente proposición: ''Si \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v)_n \) en \( V \) con la propiedad de que \( \sum_{n=1}^\infty\left\|{v_n}\right\|<+\infty \), se cumple que \( \sum_{n=1}^\infty(v_n) \) converge. Entonces \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es completo".
He empezado tomando una sucesión \( \{f_n\} \) de Cauchy en \( L^1(\mu) \) y a continuación he considerado la sucesión \( \varphi_n =\sum_{i=1}^n\left |{f_i}\right | \). Se tiene que \( \displaystyle\int\varphi_n =\sum _{i=1}^{n} \displaystyle\int\left |{f_i}\right |= \sum _{i=1}^{n} \left\|{f_i}\right\|_{1} \). Creo que la demostración va en este dirección, ¿pero cómo puedo seguir?
Gracias de antemano.