Hola
Como se probaría formalmente lo siguiente:
Todo grafo planar (no necesariamente conexo) \( G = (V, E) \) con \( k \) componentes conexas, cumple que \( |V| − |E| + |F| = k + 1 \).
(*) \( |F| \) es el número de caras del grafo
Si no contamos la cara externa, la fórmula queda:
\( |V| − |E| + |F| = k \)
Para \( k=1 \) es la fórmula clásica de Euler. Esa fórmula la cumple cada componente conexa:
\( |V_i| − |E_i| + |F_i| = 1 \)
Sólo tienes que sumar el total de vértices, caras y aristas, añadir la cara externa y tienes lo que querías.
Saludos.
