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Topología (general) / Demostrar una topología en los naturales.
« Último mensaje por SebaGa en Ayer a las 11:15 pm »
Hola, no entiendo como hacer este ejercicio. Espero alguien me pueda ayudar :D

Sea \( \bar{\mathbb{N}}=\mathbb{N}\cup \{ +\infty \} \). Demustre que los subconjuntos \( N_i=\{ n\in \bar{\mathbb{N}} ; n+1>i \} \) forman una topología para \( \mathbb{N} \).
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Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).


Muchas gracias Luis, pero no entiendo como se llega a esta conclusión
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Muchas gracias a ambos, me quedó todo clarito :)
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Añadido: Te doy una idea heurística de cómo se puede deducir esto. La condición que te dan es que \[ z=(1-xy)^{-1} \], y lo que te piden es encontrar un \[ w \] tal que \[ w=(1-yx)^{-1} \]. La idea heurística es que para elementos \[ x,y \] "pequeños" deberíamos poder expresar estos inversos en términos de una serie geométrica: \[ (1-xy)^{-1}=1+xy+xyxy+xyxyxy+\dots \] y similarmente \[ (1-yx)^{-1}=1+yx+yxyx+yxyxyx+\dots \]. Por supuesto esto no tiene sentido en un anillo general porque no podemos hablar de convergencia, pero sí tiene sentido en anillos normados (como los anillos de matrices cuadradas) y nos puede dar la idea para obtener una fórmula válida para cualquier anillo.
Entonces:
\[ w=(1-yx)^{-1}=1+yx+yxyx+yxyxyx+\dots = 1+y(1+xy+xyxy+\dots)x=1+y(1-xy)^{-1}x=1+yzx \].
Por tanto llegamos a que \[ w=1+yzx \] que sí tiene sentido en un anillo arbitrario, y ahora puedes dar una demostración rigurosa de que este \[ w \] funciona (comprobando que \[ (1+yzx)(1-yx)=(1-yx)(1+yzx)=1 \]).

Ooh, que hermosa esta idea para encontrar el inverso.  :o
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Hola

Hola geómetracat. Muchas gracias, con esa indicación sale inmediatamente. Sólo me falta ver que es \( 1+xwy \), tengo que \( 1+xwy=1+x(1+yzx)y=1+xy+xyzxy \) y del enunciado deduzco que \( xy \) conmuta con \( z \), pero no veo que me ayude mucho.

Ten en cuenta que de \( z(1-xy)=(1-xy)z=1 \) se deduce que \( zxy=xyz=z-1 \). Si sustiyuyes en tu expresión ya lo tienes.

Saludos.
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He añadido en mi anterior mensaje una idea heurística de cómo llegar a ese resultado, que tal como estaba parece que salga de la nada por inspiración divina.

Para la segunda parte, por analogía con la primera puedes intuir que \[ 1+xwy=z \]. Para demostrarlo formalmente puedes comprobar que \[ (1+xwy)(1-xy)=(1-xy)(1+xwy)=1 \] y apelar a la unicidad de los inversos.
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Hola geómetracat. Muchas gracias, con esa indicación sale inmediatamente. Sólo me falta ver que es \( 1+xwy \), tengo que \( 1+xwy=1+x(1+yzx)y=1+xy+xyzxy \) y del enunciado deduzco que \( xy \) conmuta con \( z \), pero no veo que me ayude mucho.
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Hola

En el segundo caso, cuando has leído las opciones disponibles , no estás eligiendo el valor al azar, aunque puedes hacerlo, podríamos preguntarnos porque no nos decidimos  por ninguna opción en el problema original, es porque las estamos analizando y no escogiendo al azar.
Cuál es la probabilidad de acertar dado que vas a acertar...100% , cuando sabes la respuesta tienes ese porcentaje de probabilidad de acertar, lógicamente si la opción 100% está disponible.
Se ve más claro hacia donde va mí idea.

Pues no lo veo muy claro. Si en la pregunta pide que se de el porcentaje si se contesta al azar, entonces no puedes decir después que no estamos escogiendo al azar. O mejor dicho, puedes decirlo; pero entonces no estás contestando a lo que se pregunta y es erróneo responder el 100%.

Entonces dime EXACTMANTE qué pregunta quieres plantear en tu ejemplo para que tenga sentido lo que dices.

Citar
Respecto a la probabilidad de conocer la cantidad de pelos que tiene el porteño nadie la sabe ,ni quien idea el problema, también me refiero a la probabilidad de acertar la propia pregunta,
Para acertar la cantidad de pelos las opciones las escribiríamos en unidades de pelos no en porcentaje, además de que alguien debería conocer la respuesta correcta para saber si acertamos pero al referirte al porcentaje de acierto de la propia pregunta, para que necesitamos las opciones si escogemos al azar? Si las opciones las miramos nos deben ofrecer porcentajes y elegir el que nos de el 100% de probabilidad de acertar.

Insisto en que debes de formular de manera muy precisa a que pregunta te refieres; no es lo mismo que ésta diga que se escoge al azar entre las repuestas ofertadas, que se responde al azar cuantos pelos tiene el portero.

Saludos
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Hola

Sea \( B=\left\{                      \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
-y & x
\end{array}
\right)   \in M_2(\mathbb{Z}_3)               \right\} \), demuestre que \( B \) es subcuerpo de \( M_2(\mathbb{Z}_3) \) y que \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es un grupo cíclico.

Buenas tardes, la primera parte ya la hice, estoy presentado problemas con la segunda parte, la del grupo cíclico. Gracias de antemano.

Dado que \( det\begin{pmatrix}\hfill x&y\\ -y&x\\\end{pmatrix}=x^2+y^2 \) y esto sólo se anula en \( \mathbb{Z}_3 \) si \(  (x,y)=(0,0) \), entonces todos los elementos excepto el nulo son inversibles\( ^{(1)} \). Por tanto si es cíclico está generado por un elemento de orden \( 8 \) (y hay cuatro posibles generadores).

Comprueba que uno de tales generadores es:

\( \begin{pmatrix}\hfill 1&1\\ -1&1\\\end{pmatrix} \)

Saludos.

\( ^{(1)} \) Aunque supongo que eso ya lo habías hecho al probar que es cuerpo.
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Sea \( B=\left\{                      \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
-y & x
\end{array}
\right)   \in M_2(\mathbb{Z}_3)               \right\} \), demuestre que \( B \) es subcuerpo de \( M_2(\mathbb{Z}_3) \) y que \( (B^{\thinspace *},\cdot) \) es un grupo cíclico.

Buenas tardes, la primera parte ya la hice, estoy presentado problemas con la segunda parte, la del grupo cíclico. Gracias de antemano.
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