Bueno, parece que es cierto que hay una discontinuidad, me he entretenido en hacer todo el cálculo, aunque de una manera más rigurosa:
Se define la fuerza gravitatoria generada por una masa puntual $$M$$ en posición $$p$$ en una masa puntual $$m$$ en posición $$q$$ como
$$
\mathbf{F}(q):=\frac{GmM}{\|p-q\|^3}(p-q)\tag1
$$
siendo $$G$$ la constante de gravitación universal. Si la masa está distribuida uniformemente sobre un cuerpo $$C$$ de densidad $$\rho$$ entonces la fuerza sobre $$q$$ vendrá dada por
$$
\mathbf{F}(q)=\int_{C}d\mathbf{F}=\int_{C}\frac{G\rho m}{\|p-q\|^3}(p-q)\,d V\tag2
$$
donde $$dV$$ is la forma de volumen correspondiente al cuerpo $$C$$. Para el caso de una esfera de radio $$R$$ se tiene que $$dV=R^2 \operatorname{sen}\theta\, d\varphi \,d\theta$$, para $$\varphi \in[0,2\pi)$$ y $$\theta \in[0,\pi)$$. Si definimos $$q:=(0,0,r)$$ entonces tenemos que
$$
\begin{align*}
&p-q=(R\cos \varphi\operatorname{sen}\theta , R \operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\theta ,R \cos \theta -r)\tag3\\[1em]
&\|p-q\|^2=R^2+r^2-2rR \cos \theta \tag4
\end{align*}
$$
Ahora bien, si $$r\neq R$$ entonces (2) es Bochner-integrable, por lo que podemos aplicar el teorema de Fubini, quedando únicamente la componente en $$z$$ de la integral, es decir que
$$
\mathbf{F}(q)=\mathbf{K}\int_{0}^{\pi} \frac{\operatorname{sen}\theta(R\cos \theta -r)}{(R^2+r^2-2rR\cos \theta )^{3/2}}\,d \theta,\quad \mathbf{K}:=\boldsymbol{\hat z}\,G\rho m R^22\pi \tag5
$$
Por tanto queda que
$$
\mathbf{F}(q)=-\frac{GmM(1+\operatorname{signo}(r-R))}{2r^2}\boldsymbol{\hat z},\quad r\in(0,\infty )\setminus \{ R\}\tag6
$$
siendo $$M$$ la masa total de la esfera, ya que $$M=\rho R^24\pi$$. También se puede comprobar directamente que $$\mathbf{F}(q)=0$$ cuando $$r=0$$, que es lo esperado.
La última integral la ha resuelto Wolfram Mathematica, no es una integral difícil y se puede hacer a mano, así que me fio del resultado. Por tanto es cierto que hay una discontinuidad en la esfera, como ocurre con muchos problemas de divergencia donde se involucra un campo vectorial central.
