Hola
Hola
Tengo este ejercicio
Sea[texx] Y_1,Y_2,...,Y_n [/texx] una muestra aleatoria de una distribución normal con media [texx] \mu [/texx] y varianza [texx] \theta^2[/texx] . Considere los estimadores
[texx] \theta_2^2=(Y_1-Y_2)/2 [/texx]
Creo que ahí sería: [texx] \theta_2^2=(Y_1-Y_2)^{\color{red}2\color{black}}/2 [/texx]. Tienes que comprobar que \( E[\theta_2^2]=\theta^2 \).
Pero:
\( E[(Y_1-Y_2)^2/2]=E[(Y_1^2-2Y_1Y_2+Y^2)/2]=\dfrac{1}{2}(E[Y_1^2]-2E[Y_1Y_2]+E[Y_2^2]) \)
Usamos que \( Y_1,Y_2 \) son independientes y por tanto \( E[Y_1Y_2]=E[Y_1]E[Y_2]=\mu^2 \).
Además \( E[Y_i^2]=\theta^2+\mu^2 \). Queda:
\( E[(Y_1-Y_2)^2/2]=\dfrac{1}{2}(\theta^2+\mu^2-2\mu^2+\theta^2+\mu^2)=\theta^2 \)
[texx] \theta_1^2=s^2 [/texx] [texx]=\sum_{i=1}^{n}( (Y_i-\bar{Y})^2)/\color{red}(n-1)\color{black} [/texx]
Tienes que probar que \( E[\theta_1^2]=\theta^2 \).
Pero:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}( (Y_i-\bar{Y})^2)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}(Y_i^2-2\bar Y Y_i+\bar Y^2)=\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-2\bar Y\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i+n\bar Y^2=\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-2n\bar Y^2+n\bar Y^2=\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-n\bar Y^2 \)
Y aplicando esperanzas:
\( E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}( (Y_i-\bar{Y})^2)\right]=E\left[\displaystyle\sum_{i=1}^nY_i^2-n\bar Y^2\right]=\displaystyle\sum_{i=1}^nE[Y_i^2]-nE[\bar Y^2]=n(\theta^2+\mu^2)-n(Var(\bar Y^2)+E[\bar Y]^2)=n(\theta^2+\mu^2-\dfrac{1}{n}\theta^2-\mu^2)=(n-1)\theta^2 \)
Saludos.
