En realidad sí es lo mismo que una esfera desde el punto de vista diferenciable. Lo que despista un poco es el hecho de que en los \( \Bbb R^4 \) exóticos topológicamente sí hay una carta global, y en la esfera no.
No sé si entonces entiendo bien los párrafos que cité en el otro hilo que parecen decir que hay una obstrucción global y un límite \( \epsilon \) a lo que las coordenadas suaves pueden cubrir de la variedad topológica:
"First, the question naturally arises concerning the given global topological coordinates, \( {p^\alpha} \), which define the topological manifold \( \mathbb{R^4} \), and their relationship to the local smooth coordinates given by the coordinate patch functions, \( \phi^{\alpha}_U \). Both provide maps from an abstract \( p\in{\mathbb{R^4}} \), into \( \mathbb{R^4} \) itself. Clearly the global topological coordinates cannot themselves be smooth everywhere since otherwise they would provide a diffeomorphism of exotic \( \mathbb{R^4} \) onto standard \( \mathbb{R^4} \) . But can they be locally smooth? This is answered in the affirmative by Theorem 10.1. There exists a smooth copy of each exotic \( \mathbb{R^4} \) for which the global C° coordinates are smooth in some neighborhood. That is, there exists a smooth copy, exotic \( \mathbb{R^4}= \){\( (p^\alpha) \)}, for which \( p^\alpha\in{C^{\infty}} \) for \( |p| < \epsilon \). The implied obstruction to continuing the {\( p^\alpha \)} as smooth beyond the \( \epsilon \) limit presents a challenging issue for further investigation. Related to this is a denning feature of the early discovery work of exotic \( \mathbb{R^4} \)'s, namely the nonexistence of arbitrarily large smoothly embedded three-spheres."
Lo que está diciendo aquí es básicamente que no hay una carta global en el atlas diferenciable de un \( \Bbb R^4 \) exótico, y por tanto las coordenadas globales topológicas deben dejar de ser diferenciables en algún momento.
Con un poco más de calma. Sea \( X \) un \( \Bbb R^4 \) exótico y sea \( p\in X \) un punto cualquiera. Como \( X \) es una variedad diferenciable, hay un entorno \( U \) de \( p \) que es difeomorfo a un abierto de \( \Bbb R^4 \) (estándar) que manda \( p \) a \( 0 \). Esto se puede tomar de manera que este difeomorfismo de \( U \) se extienda a un homeomorfismo de \( X \) con \( \Bbb R^4 \). Considerando la aplicación inversa, tenemos un homeomorfismo \( \phi:\Bbb R^4 \to X \) que además es un difeomorfismo de un entorno de \( 0 \) en \( \Bbb R^4 \) (estándar) en un entorno de \( p \) (con la estructura exótica). Entonces podemos pensar que \( \phi \) nos proporciona coordenadas globales \( (t,x,y,z) \) en \( X \), pero estas coordenadas globales, que dan lugar a una carta global topológica, no pueden dar lugar a una carta global diferenciable porque si así fuera tendríamos \( X \) difeomorfo al \( \Bbb R^4 \) estándar. Como sí que nos da coordenadas locales diferenciables en un entorno del origen, cuando vamos ampliando el entorno (p.ej. tomando bolas y ampliando el radio) en algún momento la restricción de \( \phi \) a esas bolas debe dejar de ser un difeomorfismo.
Esto es en cierto modo análogo a lo que pasa en una esfera o en cualquier otra variedad que no se pueda cubrir por una sola carta. En una esfera puedes considerar coordenadas locales en un entorno del polo norte, por ejemplo tomando la parametrización \( (x,y)\mapsto(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \). En una pequeña bola sobre la esfera centrada en el polo norte esto (o más precisamente, la aplicación inversa de esta) te da una carta del atlas diferenciable, y por tanto puedes usar \( (x,y) \) como coordenadas locales en ese entorno. Si vas ampliando la bola, llega un momento en que eso deja de ser un difeomorfismo. En este caso, eso ocurre concretamente cuando llegas al ecuador de la esfera. Pues esto es lo mismo que pasa en un \( \Bbb R^4 \) exótico. La diferencia es que este último se puede cubrir por una carta global topológicamente (es homeomorfo a \( \Bbb R^4 \)) y por tanto hay una noción de coordenadas globales (topológicas). Pero desde el punto de vista diferenciable esta carta global es invisible porque no es compatible con el atlas diferenciable de \( X \). Por eso a efectos prácticos y siempre que mires las cosas desde la óptica de variedades diferenciables, no hay ninguna diferencia conceptual entre un \( \Bbb R^4 \) exótico y una esfera.
O también refiriéndose a una métrica típica usada en modelos cosmológicos de relatividad general:
"However, this metric, and even the variable t itself, cannot be continued as globally smooth indefinitely, because of the exotic smoothness obstruction. Nevertheless, X is still a globally smooth manifold, with some globally smooth Lorentz-signature metric on it."
Esto entiendo que es más o menos lo mismo. Tienes unas coordenadas globales topológicas, que en particular te dan una función \( t:X \to \Bbb R \) (que asigna a cada punto su coordenada \( t \)). Esta es una función continua, y además diferenciable en algún abierto de la variedad, pero no es diferenciable globalmente (la aplicación \( t:X \to \Bbb R \) no es diferenciable). Por eso dice que no se puede extender a una función diferenciable globalmente. Pero por otro lado, como no hay obstrucciones topológicas (\( X \) no es compacta), sabemos que admite métricas lorentzianas (definidas en todo \( X \)).
Porque esto desde luego no pasa en una esfera estándar. Es decir con lo de la herramienta no me refería a que no pudieran tener una conexión sino que esta no les permitía superar la obstrucción de la que se habla en estos extractos.
Como decía antes, la única diferencia es que si las miras a nivel topológico una tiene coordenadas globales topológicas y la otra no. Pero desde el punto de vista diferenciable donde las coordenadas globales son "invisibles" para \( X \), la situación es conceptualmente la misma. En particular, a efectos de conexiones la situación es análoga. \( X \) no puede tener una conexión plana y libre de torsión (por ser un \( \Bbb R^4 \) exótico) por el mismo motivo por el que \( S^4 \) no puede tener una conexión plana y libre de torsión: porque si la tuviera tendrías transporte paralelo global que te daría un difeomorfismo con el \( \Bbb R^4 \) estándar.
