Como dije en un mensaje anterior mi conocimiento de teoría de representación no alcanza a la construcción de los polinomios de orden mayor que el cuadrático en los generadores, y por tanto mi última pregunta era honesta y es la razón por la que empecé el hilo, no una afirmación.
Ya, las mías también, yo tampoco tengo mucha idea y me gustaría entender bien qué pasa. Así como en otros hilos sí sabía perfectamente de lo que estaba hablando, en este no.
Aparte de esto se me había olvidado en el mensaje anterior que ya dimos una expresión más explícita en términos de los generadores: \( J\cdot K = J_1K_1+J_2K_2+J_3K_3 \).
Dicho esto yo creo que esa expresión ya está escrita en términos de generadores, el tensor \( J^{\mu\nu} \) denota el generador concreto expresado con los 2 indices que representan cada uno de los 6 posibles generadores.
Sí, está expresada como producto de los generadores, pero no veo cómo es un polinomio de cuarto orden. Yo diría que es cuadrático (de orden dos). Pero la verdad es que no acabo de ver muy clara la estructura del álgebra envolvente universal de \( \mathfrak{so}(4) \), en particular el producto. Por ejemplo, el Casimir cuadrático \( J^2+K^2 \) junto con este nuevo elemento (también cuadrático a mi parecer) \( J\cdot K \) ¿generan el centro del álgebra envolvente? No lo veo muy claro. ¿Cómo expresaríamos \( J^2 \) con estos generadores, por ejemplo?
Añadido:La última pregunta está mal porque \( J^2 \) no es del centro. Además parece que sí generan \( B_+^2 \) y \( B_-^2 \), con lo que ya estaría. La pregunta ahora sería qué generador de orden cuatro tomar que genere todo junto con el casimir cuadrático.
