[URama]

¡Hola!
Quiero probar el siguiente teorema (de Thales) solo usando referencias, razones simples... Sin usar proporciones entre segmentos ni nada. La verdad que llevo días pensando como probarlo, pero me quedo totalmente estancado. ¿Alguna ayuda??? Es el siguiente:

Sean \( r_1 \) i \( r_2 \) dos rectas tal que \( r_1\cap r_2=O \), i.e interseccionan en el punto O. Sean \( A_1,B_1\in r_1 \) i \( A_2, B_2\in r_2 \). Demostrar que las razones simples \( (O, A_1, B_1) \) i \( (O, A_2, B_2) \) són iguales si i solo si las rectas \( A_1 A_2 \) i \( B_1 B_2 \) són paralelas. Es decir:
\( (O, A_1, B_1)=(O, A_2, B_2)\Longleftrightarrow{A_1 A_2 || B_1 B_2} \).

La primera vez que lo hice fue usando las demostraciones que se pueden encontrar en internet, usando segmentos y proporciones. El problema es que no se me ocurre ninguna manera de probarlo usando estrictamente solo referencias y razones simples. He intentado considerar la referencia \( R=(O, \vec{OA_1}, \vec{OA_2}) \) y escribir todo de la forma: \( O_R, {A_1}_R,... \)

¿Me podrías ayudar?? ¡Muchas gracias!

[geómetracat]

Vas bien considerando esa referencia. No sé muy bien qué problema tienes. En esa referencia, \[ A_{1R}=(1,0), A_{2R}=(0,1) \]. Como \[ B_1 \] está en \[ r_1 \], tendrás \[ B_{1R} = (b_1,0) \] y similarmente \[ B_{2R}=(0,b_2) \]. Ahora, las razones simples son \[ (O,A_1,B_1)=b_1, (O,A_2,B_2)=b_2 \]. Finalmente, calcula los vectores directores de las rectas \[ A_1A_2 \] y \[ B_1B_2 \] usando esta referencia y observa que son proporcionales si y solo si \[ b_1=b_2 \].

PD: Vigila la ortografía en castellano (por el tipo de faltas, imagino que estudias en catalán): "y" en vez de "i", "son2 (sin acento) en vez de "són", "probar" (con b) en vez de "provar".

[URama]

Vas bien considerando esa referencia. No sé muy bien qué problema tienes. En esa referencia, \[ A_{1R}=(1,0), A_{2R}=(0,1) \]. Como \[ B_1 \] está en \[ r_1 \], tendrás \[ B_{1R} = (b_1,0) \] y similarmente \[ B_{2R}=(0,b_2) \]. Ahora, las razones simples son \[ (O,A_1,B_1)=b_1, (O,A_2,B_2)=b_2 \]. Finalmente, calcula los vectores directores de las rectas \[ A_1A_2 \] y \[ B_1B_2 \] usando esta referencia y observa que son proporcionales si y solo si \[ b_1=b_2 \].

Vale claro! La verdad que aún no sé que estaba intentando (estaba probando cosas muy idas) porque visto así es aparentemente claro. Muchas gracias!
Una última duda acerca de esto también, supongamos que tenemos tres puntos diferentes alienados\( A, B, C \), entonces la razón simple cumple \( (A,B,C)=(A,C,B)=(B,A,C)... \)?? Yo diría que si no?

[geómetracat]

Una última duda acerca de esto también, supongamos que tenemos tres puntos diferentes alienados\( A, B, C \), entonces la razón simple cumple \( (A,B,C)=(A,C,B)=(B,A,C)... \)?? Yo diría que si no?

No. La razón simple de tres puntos alineados \[ A,B,C \] (en ese orden) es:
\[ (A,B,C)=\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}} \]. El cociente de estos vectores tiene sentido porque son vectores proporcionales al estar los puntos alineados, así que el cociente denota simplemente la constante de proporcionalidad.
Usando esto puedes encontrar todas las relaciones. Por ejemplo:
\[ (A,C,B)=\frac{\vec{AB}}{\vec{AC}}=\frac{1}{(A,B,C)} \]
\[ (B,A,C)=\frac{\vec{BC}}{\vec{BA}}=\frac{\vec{AC} - \vec{AB}}{-\vec{AB}}= 1-\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}=1-(A,B,C) \].