Teorema de extensión de Tietze. Sea C un conjunto cerrado de un espacio normal $$X$$ y sea $$f:C\longrightarrow\mathbb R$$ una función continua. Entonces existe una extensión continua de $$f$$ a todo $$X$$ con valores en $$\mathbb R$$.
Dmst: Sea $$f:C\longrightarrow\mathbb R$$ una función continua, donde $$C$$ es un subconjunto cerrado de un espacio normal $$X$$. Asumamos primero que $$f(x)\geq 0$$ para cada $$x\in C$$. Sea $$h=\frac{f}{1+f}$$ y notemos que $$h:C\longrightarrow (0,1)\subseteq [0,1]$$ es una función continua ya que $$\frac{1}{1+f}$$ es una función continua en $$[0,1]$$ y el producto de funciones continuas es continua. Por el lema de Uryson, existe una extensión continua $$h_0:X\longrightarrow[0,1]$$ de $$h$$.
Ahora, sea $$B=h_0^{-1}(\left\{1\right\})$$ y notemos que $$B$$ es cerrado puesto que $$\left\{1\right\}$$ es cerrado en $$\mathbb R$$ y $$h_0$$ es continua. Además, como $$0<h_0(x)<1$$ para cada $$x\in C$$, podemos ver que $$B\cap C=\emptyset$$. Usando nuevamente el lema de Uryson, cada par de conjuntos cerrados disyuntos pueden ser separados por una función continua, entonces existe alguna función continua $$\phi:X\longrightarrow[0,1]$$ tal que $$\phi(c)=1$$ para todo $$c\in C$$ y $$\phi(b)=0$$ para todo $$b\in B$$. Ahora, notemos que la función $$g=\frac{\phi h_0}{1-\phi h_0}$$ es una extensión continua de $$f$$ a todo $$X$$ con valores en $$\mathbb R$$, puesto que $$g(c)=\frac{\phi(c)h_0(c)}{1-\phi(c)h_0(c)}=\frac{h_0}{1-h_0}$$ y es continua por el mismo argumento que $$h$$ es continua y además como $$h_0(c)<1$$ para todo $$c\in C$$ no se indetermina la función. Para el otro caso $$g(b)=\frac{\phi(b)h_0(b)}{1-\phi(b)h_0(b)}=0$$ es continua.
Para el caso general, asumamos que $$f:C\longrightarrow\mathbb R$$ es continua y escribimos $$f=f^+-f^-$$, donde $$f^+=f\vee 0:C\longrightarrow\mathbb R$$ y $$f^-=(-f)\vee 0:C\longrightarrow\mathbb R$$ son dos funciones continuas no negativas. Para la primera parte, existen dos funciones continuas $$\phi_1,\phi_2:C\longrightarrow\mathbb R$$ que se extienden a $$f^+$$ y a $$f^-$$ respectivamente. Ahora, notemos que $$\phi=\phi_1-\phi_2:X\longrightarrow\mathbb R$$ es una extensión continua de $$f$$.
Estoy estudiando estos teoremas, en este caso en particular. Las partes que están en rojo son justificaciones que yo he colocado, no sé si estén bien y la parte que esta en azul con alguna idea general que me den para lograr entender.
ANEXO: EL LIBRO DONDE ESTA LA DEMOSTRACIÓN ORIGINAL; PÁGINA 94.
