[Dark]

Sea $$A\subseteq \mathbb R^n$$. Muestre que existe $$E\subseteq A$$ enumerable tal que $$E$$ es denso en $$A$$.

Tengo la duda de que le hace falta alguna condición a $$A$$ para que esto sea cierto, porque así tal cual no he podido probarlo.

[Fernando Revilla]

Sea $$A\subseteq \mathbb R^n$$. Muestre que existe $$E\subseteq A$$ enumerable tal que $$E$$ es denso en $$A$$.

\( \mathbb{R}^n \) es separable pues \( \overline{\mathbb{Q}^n}=\mathbb{R}^n \) con \( \mathbb{Q}^n \) contable. Ahora, en general, si \( X \) es un espacio métrico separable y \( A\subset  X \), entonces \( A \) contiene un subconjunto denso contable, mira aquí: https://math.stackexchange.com/questions/1413738/every-convex-set-in-mathbb-rn-has-a-countable-and-dense-subset

[Dark]

Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

[Fernando Revilla]

Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

Claro, la demostración es válida para cualquier subconjunto de un espacio separable que contiene a un subconjunto contable y denso.

[Luis Fuentes]

Hola

 Puedes mirar por aquí también:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=10594.msg43898#msg43898

Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

 De todas formas ese caso particular es trivial porque el propio \( A=\mathbb N^n \) ya es numerable y obviamente denso en el mismo.

Saludos.