Yo creo más bien que es al contrario, aunque tampoco lo sé con seguridad. En el caso de algunos teoremas como el de Rolle, aunque no es el único, bastaría con definir la continuidad y la derivabilidad en el abierto (a,b), pero es necesario establecer cuales son los valores de dicha función en ambos puntos, si no se exige la continuidad no se puede afirmar que dichos valores existan, pero podría enunciarse dicho teorema aceptando que existen los límites interiores para la función y la derivada en dichos extremos y el teorema funcionaría igual, creo. No sé si me explico, se acepta que la función es continua y derivable en (a,b) y se acepta además que existen los límites en a por la derecha y en b por la izquierda para la función y la derivada, creo que bastaría para que se cumplieran las condiciones (siempre que se acepten dichos límites como los valores extremos de la función y su derivada). O bien bastaría con establecer la continuidad en el intervalo cerrado para tener el problema resuelto. Creo que no tiene demasiado interés la cuestión.