¡Hola!
Estoy algo confundido, así que volveré a explicarlo.
Estoy considerando el caso I, donde \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \), que se define como \( I = \{(x_0,y_0);(x_1,y_1)\} = \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) o \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \) intersectado con \( \{(x,y) / y > x - (x_1 - y_1) \) o \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \).
Ya he demostrado que \( I = \emptyset \), considerando el caso 2) donde \( x_0 - y_0 = x_1 - y_1 \) con \( y_0 < y_1 \), donde \( x_1 = x_0 + 1 \) y \( y_1 = y_0 + 1 \). Ese no es el problema, ya que aquí todo es incompatible, es decir, relacioné uno y lo relacioné con ambos del otro lado, y así sucesivamente. Por ende I=vacio
Por ende, aquí concluyo que si \( (x,y) \) pertenece a \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), entonces \( (x-1,y-1) \) es su predecesor inmediato. Solo tiene predecesores inmediatos con \( x \geq 1 \) y \( y \geq 1 \) ya que \( \mathbb{N} \) .
El problema radica en el caso 1), \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \). Entonces, afirmo que \( I = \emptyset \) si \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \), es decir, esto me permite hacer que las dos rectas sean consecutivas, por ende, no tendrían elementos de por medio y serían predecesoras sus elementos. Pero no logro hacer que las cuentas me fallen en esta parte (en particular los casos que les voy a dar a continuacion por que los otras dos opciones si las logre con el caso 1). Tomé \( \{(x,y) / y < x - (x_0 - y_0) \) y luego si \( y = x - (x_1 - y_1) \) con \( y < y_1 \), algo tendrá que fallar, ¿no? supongo que es tomando y< y_1 pues , la otra parte se cumple
Ahora que lo pienso, también me he atascado con \( y = x - (x_0 - y_0) \) con \( y > y_0 \)... ¿y si \( y > x - (x_1 - y_1) \)? Recuerda, considerando el caso 1) \( x_0 - y_0 < x_1 - y_1 \). y con \( x_1 - y_1 = x_0 - y_0 + 1 \)
¡Gracias y saludos!