[zorropardo]

Estaria bien si lo resuelvo de esta otra  forma, segun las sugerencias:

Tenemos: $$0<q<1 \Rightarrow{    0 <q^{n}<1} \Rightarrow{  1< 1+q^{n}< 2} \Rightarrow{ 1 <\sqrt[n]{1+q^{n}}  < \sqrt[n] {2} }.$$ Como $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \sqrt[n]{2}}= \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1}=1$$ por el teorema del sandwich se concluye que $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \sqrt[n]{1+q^{n}}}=1$$

[ani_pascual]

Estaria bien si lo resuelvo de esta otra  forma, segun las sugerencias:

Tenemos: $$0<q<1 \Rightarrow{    0 <q^{n}<1} \Rightarrow{  1< 1+q^{n}< 2} \Rightarrow{ 1 <\sqrt[n]{1+q^{n}}  < \sqrt[n] {2} }.$$ Como $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \sqrt[n]{2}}= \textcolor{blue}{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1}}=1$$ por el teorema del sandwich se concluye que $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \sqrt[n]{1+q^{n}}}=1$$

Lo veo bien, aunque quizás sobraría lo marcado en azul, por redundante,   
Saludos

[zorropardo]

Ah si,  muy agradecido.

[Juan Pablo Sancho]

Teniendo en cuenta este hilo:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125954.msg514562#msg514562
Es inmediato como te indique en la respuesta:

Por otra parte cuando tienes \( a_n^n-1 = q^n  \) es evidente que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \) por que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \) y \(  a_n > 1 \) para todo natural.

[Luis Fuentes]

Hola

Diría que es al revés, aunque igual me equivoco .
\( 1<n\Longrightarrow q^n<nq^n\Longrightarrow  1+q^n<1+nq^n<(1+nq^n)^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}<1+nq^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}-1 <nq^n\Longrightarrow \dfrac{\sqrt[n]{1+q^n}-1}{q^n}<n\Longrightarrow\\ \dfrac{1}{n}<\dfrac{q^n}{\sqrt[n]{1+q^n}-1}=\color{red}\dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+\cdots +a_1}\color{black} \)

La igualdad en rojo está mal. Es:

\( \dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+\cdots +a_1 \)

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Diría que es al revés, aunque igual me equivoco .
\( 1<n\Longrightarrow q^n<nq^n\Longrightarrow  1+q^n<1+nq^n<(1+nq^n)^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}<1+nq^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}-1 <nq^n\Longrightarrow \dfrac{\sqrt[n]{1+q^n}-1}{q^n}<n\Longrightarrow\\ \dfrac{1}{n}<\dfrac{q^n}{\sqrt[n]{1+q^n}-1}=\color{red}\dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+\cdots +a_1}\color{black} \)

La igualdad en rojo está mal. Es:

\( \dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+\cdots +a_1 \)

Así es, eso es lo que apunté en este mensaje anterior
Nos costó encontrar el error a thadeu y a mí 

Si, ahí está el error.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Así es, eso es lo que apunté en este mensaje anterior
Nos costó encontrar el error a thadeu y a mí 

Vale. Te entendí mal. Me confundió un poco que citases el mensaje de zorropardo y no el tuyo.

El error de zorropardo  en realidad creo que es simplemente una errata, porque a continuación en su desarrollo lo escribe correctamente (cito la versión que tu a su vez le citaste, porque luego lo ha corregido):

$$ \color{red}{a_{n}^{n} -1=\frac{a_{n}-1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}}\color{black}  \Rightarrow{\color{blue}    0< a_{n}-1=\frac{a_{n}^{n}-1}{ (a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)} \color{black} = \frac{q^{n}}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)} < \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}          }$$

mi pregunta es : Es cierto que $$ \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}  < \frac{1}{n}$$ y porque 

¿No debería ser \( a_n^n-1=(a_n-1)(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+\cdots +1) \)?

Si te fijas en azul lo escribe correctamente.

Entonces entiendo que en un primer momento en tu desarrollo (que no era el mismo que zorropardo) arrastrabas su primer error; y cuando lo detectaste en su mensaje, implícitamente te referías al tuyo también.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Más bien, me parece que, usando una cadena de desigualdades llegué a probar que \( \dfrac{1}{n}<\dfrac{a_n^n-1}{a_n-1} \) y en este último paso me dejé llevar por la igualdad errónea usada por zorropardo en su primer mensaje, que ya ha corregido. Así pues, salvo errores en esa cadena de desigualdades, veo que el razonamiento que hice sirve para probar que \( \dfrac{1}{a_n^{n-1}+\cdots +1}< n \) pues es \( \dfrac{1}{n}<\dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=a_n^{n-1}+\cdots +1 \), pero no es válido para probar que \( \dfrac{1}{a_n^{n-1}+\cdots +1}<\dfrac{1}{n} \)

Entonces entiendo que en un primer momento en tu desarrollo (que no era el mismo que zorropardo) arrastrabas su primer error; y cuando lo detectaste en su mensaje, implícitamente te referías al tuyo también.

En realidad creo que el error de zorropardo no lo he arrastrado, pues lo usé al final del razonamiento, y eso me llevó a dar una conclusión errónea, la de que \( \dfrac{1}{a_n^{n-1}+\cdots +1}>\dfrac{1}{n} \) cuando lo correcto, como ya probó thadeu, es que \( \dfrac{1}{a_n^{n-1}+\cdots +1}<\dfrac{1}{n} \)
Saludos