[zorropardo]

Calcular $$ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \sqrt[ n]{1+q^{n}}  } ; 0<q<1   ; q \in \mathbb{R}.$$

Hice lo siguiente:

Sea $$a_{n}= \sqrt[ n]{1+q^{n}}  \Rightarrow{   a_{n}^{n}-1=q^{n} }.$$ Como $$q >0 \Rightarrow{ q^{n} >0 }$$ osea  $$a_{n}^{n}-1>0.$$  Tambem  si $$ q<1 \Rightarrow{ q^{n} <1}.$$

 Luego como

$$ a_{n} -1=\frac{a_{n}^{n}-1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}  \Rightarrow{    0< a_{n}-1=\frac{a_{n}^{n}-1}{ (a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)  }= \frac{q^{n}}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)} < \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}          }$$

mi pregunta es : Es cierto que $$ \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}  < \frac{1}{n}$$ y porque 

[ani_pascual]

Hola:

...
mi pregunta es : Es cierto que $$ \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}  < \frac{1}{n}$$ y porque 

Diría que es al revés, aunque igual me equivoco .
\( 1<n\Longrightarrow q^n<nq^n\Longrightarrow  1+q^n<1+nq^n<(1+nq^n)^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}<1+nq^n\Longrightarrow \sqrt[n]{1+q^n}-1 <nq^n\Longrightarrow \dfrac{\sqrt[n]{1+q^n}-1}{q^n}<n\Longrightarrow\\ \dfrac{1}{n}<\dfrac{q^n}{\sqrt[n]{1+q^n}-1}=\dfrac{a_n^n-1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+\cdots +a_1} \)
Respecto al límite, puedes usar el criterio de la raíz: \( \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1+q^{n+1}}{1+q^n}=\boxed{1} \) ya que \( 0<q<1 \)
Saludos

[thadeu]

Hola zorropardo

Tienes $$a_n>1$$
Entonces $$a_n^k>1$$ donde $$0\leq{k}\leq{n-1}$$
Por tanto tienes que $$a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+1>n$$

Y así
$$\displaystyle\frac{1}{n}>\displaystyle\frac{1}{a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+1}$$

[ani_pascual]

Hola:

Tienes $$a_n>1$$
Entonces $$a_n^k>1$$ donde $$0\leq{k}\leq{n-1}$$
Por tanto tienes que $$a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+1>n$$

Y así
$$\displaystyle\frac{1}{n}>\displaystyle\frac{1}{a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+1}$$

...pero si \( k=0 \) entonces \( a_n^k=1\ngtr 1 \) aunque parece que se cumple de todos modos la desigualdad. ¿Puedes decirme dónde está el fallo del razonamiento expuesto  aquí ?
Gracias
Saludos

[thadeu]

Hola ani_pascual
Tienes razón
Pero igual haciendo $$k\geq{1}$$
Se tendria
$$a_n^{n-1}+a_n^{n-2}+...+a_n>n-1$$
Sumando 1 en ambos lados
La conclusión es la esperada.

Respecto al error que dices en tu solución
Pues diria que
$$\displaystyle\frac{\sqrt[n ]{1+q^n}-1}{q^n}<n$$ cambiaria de sentido ya que   $$q<1$$

Saludos

[thadeu]

Respecto al error que dices en tu solución
Pues diria que
$$\displaystyle\frac{\sqrt[n ]{1+q^n}-1}{q^n}<n$$ cambiaria de sentido ya que   $$q<1$$

Saludos

Esa observación es incorrecta
Por ahora no he encontrado el error

[ani_pascual]

Hola:

Respecto al error que dices en tu solución
Pues diria que
$$\displaystyle\frac{\sqrt[n ]{1+q^n}-1}{q^n}<n$$ cambiaria de sentido ya que   $$q<1$$

Saludos

Esa observación es incorrecta
Por ahora no he encontrado el error

En esta línea del mensaje de zorropardo creo que hay un error

$$ \textcolor{red}{a_{n}^{n} -1=\frac{a_{n}-1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}}  \Rightarrow{    0< a_{n}-1\textcolor{red}{=\frac{a_{n}^{n}-1}{ (a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)  }= \frac{q^{n}}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)} < \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}          }}$$

mi pregunta es : Es cierto que $$ \frac{1}{(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+....+1)}  < \frac{1}{n}$$ y porque 

¿No debería ser \( a_n^n-1=(a_n-1)(a_{n}^{n-1}+a_{n}^{n-2}+\cdots +1) \)?
Saludos

[thadeu]

Si, ahí está el error.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que \(  1 < a_n  < \sqrt[n]{2} \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \)

Por otra parte cuando tienes \( a_n^n-1 = q^n  \) es evidente que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \) por que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \) y \(  a_n > 1 \) para todo natural.

[zorropardo]

 Gracias por las respuestas. Ya corregi el error de la identidad.