[zorropardo]

Sea $$a \in \mathbb{R}$$ tal que $$|a|>1,$$ probar que $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \frac{a^{n}}{n!}}=0.$$

[ani_pascual]

Hola_

Sea $$a \in \mathbb{R}$$ tal que $$|a|>1,$$ probar que $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \frac{a^{n}}{n!}}=0.$$

Spoiler

Se tiene que \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{|a|^n}{n!}=e^{|a|}<\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^n}{n!}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0 \) ¿Seguro que tiene que ser \( |a|>1 \)?

[cerrar]

Saludos

[zorropardo]

Hola, la parte de series  todavia es abordada en los proximos capitulos. Por otro lado si es $$|a|>1.$$

[ani_pascual]

Hola, la parte de series  todavia es abordada en los proximos capitulos. Por otro lado si es $$|a|>1.$$

Spoiler

Ha sido un lapsus. No sirve en este caso 
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^{n+1}n!}{(n+1)!|a|^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|}{n+1}=0 \) 

[cerrar]

Saludos

[zorropardo]

Si, pero en ese caso tendria que probar ese criterio.

[ani_pascual]

Si, pero en ese caso tendria que probar ese criterio.

Como te he comentado, no vale, ya que ese criterio sirve para demostrar que la serie es convergente, pero tú lo que quieres es probar que la sucesión, es decir, el término general de la serie, converge a cero. ¿Qué puedes usar? ¿Solo la definición de límite?
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Toma \( n_0 > max(2  , 2 \cdot |a|) \) y sea \( C = \dfrac{a}{1} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \cdots \cdot \dfrac{a}{n_0}  \) entonces si \( n >n_0 \):

\( |\dfrac{a^n}{n!}| = |C| \cdot |\dfrac{a^{n-n_0}}{n \cdot (n-1) \cdots (n_0+1)}| < |C| \cdot \dfrac{1}{2^{n-n_0}} = C \cdot 2^{n_0} \cdot \dfrac{1}{2^n} = C_1 \cdot \dfrac{1}{2^n}  \)

Editado

Puedes usar también que para \( n_0 > max(|a| , 2)  \) tenemos (si \( n > n_0 \)):
\( x_n = \dfrac{|a|^n}{n!} \) luego \( x_{n+1} = \dfrac{|a|^{n+1}}{(n+1)!} = \dfrac{|a|}{n+1} \cdot x_n < x_n  \) luego decrciente y acotada inferiormente convergente, \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_n = L  \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} L = x_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a|}{n+1} \cdot x_n = 0 \cdot L  \).
Entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 \)

[ani_pascual]

Hola:
Se me ocurre intentarlo con el criterio de Stolz;  llamando \( L=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^n}{n!} \),  se tiene que
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^{n+1}-|a|^n}{(n+1)!-n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^n(|a|-1)}{n\cdot n!}=L\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|-1}{n}=L\cdot 0=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^n}{n!}=0 \)
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero usas que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a|^n}{n!} = L \) vamos usas que tiene límite.

Pero en esta respuesta tenías resuelto el límite.

Spoiler

Ha sido un lapsus. No sirve en este caso 
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^{n+1}n!}{(n+1)!|a|^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|}{n+1}=0 \) 

[cerrar]

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Sea $$a \in \mathbb{R}$$ tal que $$|a|>1,$$ probar que $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \frac{a^{n}}{n!}}=0.$$

Otra forma:
Sea \( p\in\mathbb{N} \) tal que \( 1<|a|<p \), entonces \( \forall\,n\geq p \) se tiene que
\( \dfrac{|a|^n}{n!}=\dfrac{|a|^p}{p!}\cdot \dfrac{|a|^{n-p}\cdot p!}{n!}=\dfrac{|a|^p}{p!}\cdot\dfrac{|a|^{n-p}}{(p+1)\cdots n}<\dfrac{|a|^p}{p!}\cdot\dfrac{|a|^{n-p}}{p^{n-p}}=\dfrac{|a|^p}{p!}\cdot\left(\dfrac{|a|}{p}\right)^{n-p} \) y como \( \dfrac{|a|}{p}<1\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{|a|}{p}\right)^{n-p}=0 \) y es \( \dfrac{|a|^p}{p!} \) una constante, se deduce que \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^n}{n!}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0 \)
Saludos