[Luis Fuentes]

Hola

y según manooooh, la respuesta que tenía, era la iii) Solo si \( (R\subset S) \vee (S\subset R)\,\, \vee ... \), donde la última disyunción parecía referirse a que \( R\cap S \) eran los bucles.
Por eso sugiero que quizás con lo de bucles se refiera a las relaciones reflexivas, ya que éstas han de estar sí o sí en la unión para que la unión sea una relación de equivalencia, si bien esta condición disyuntiva triple no es suficiente.

Pero vuelvo a lo mismo; no tendría sentido ni siquiera poner esa condición como necesaria, porque SIEMPRE se cumple, bajo las hipótesis que tenemos de que \( R \) y \( S \) son de equivalencia.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Pero vuelvo a lo mismo; no tendría sentido ni siquiera poner esa condición como necesaria, porque SIEMPRE se cumple, bajo las hipótesis que tenemos de que \( R \) y \( S \) son de equivalencia.

Sin ánimo de molestar ...
Precisamente por eso es una condición necesaria, que es lo que expone el apartado iii)  \( R\cup S \) es de equivalencia solo si \( R\cap S \) está formada por los bucles (suponiendo que estos sean las relaciones reflexivas), es decir, \( R\cup S \) es de equivalencia \( \Longrightarrow R\cap S=\{\mbox{ bucles}\} \) pero no tiene porqué ser suficiente, es decir, \( R\cap S=\{\mbox{ bucles}\}\nRightarrow R\cup S \) es de equivalencia. De hecho, \( (R\subset S) \vee (S\subset R) \) es una condición suficiente para que \( R\cup S \) sea de equivalencia, pero no es necesaria; ahora bien, si se le añade la otra, entonces la nueva condición disyuntiva  triple ya es necesaria porque lo es el tercer término, \(  R\cap S=\{\mbox{ bucles}\} \).
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sin ánimo de molestar ...
Precisamente por eso es una condición necesaria, que es lo que expone el apartado iii)  \( R\cup S \) es de equivalencia solo si \( R\cap S \) está formada por los bucles (suponiendo que estos sean las relaciones reflexivas), es decir, \( R\cup S \) es de equivalencia \( \Longrightarrow R\cap S=\{\mbox{ bucles}\} \) pero no tiene porqué ser suficiente, es decir, \( R\cap S=\{\mbox{ bucles}\}\nRightarrow R\cup S \) es de equivalencia. De hecho, \( (R\subset S) \vee (S\subset R) \) es una condición suficiente para que \( R\cup S \) sea de equivalencia, pero no es necesaria; ahora bien, si se le añade la otra, entonces la nueva condición disyuntiva  triple ya es necesaria porque lo es el tercer término, \(  R\cap S=\{\mbox{ bucles}\} \).

Pensé que te referías a \( \{bucles\}\subset R\cap S \) entendiendo que "bucles" es simplemente la relación de cada elemento consigo mismo. Si fuese así lo que quiero decir es que es cierto que es una condición necesaria, pero es una condición inútil, porque TODAS las parejas de relaciones de equivalencia R,S la cumplen. No sirve para descartar nada.

Si te refieres a \( \{bucles\}=R\cap S \) entonces es FALSO que sea una condición necesaria. Por ejemplo en un conjunto de seis elementos si consideramos las relaciones de particiones:

\( X/R=\{\{1\},\{2\},\{3,4\},\{5,6\}\} \)
\( X/S=\{\{1,2\},\{3\},\{4\},\{5,6\}\} \)

se puede que ver que \( R\cup S \) es de equivalencia y \( R\cap S \) es algo más que bucles; por ejemplo \( (5,6)\in R\cap S \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Pensé que te referías a \( \{bucles\}\subset R\cap S \) entendiendo que "bucles" es simplemente la relación de cada elemento consigo mismo. Si fuese así lo que quiero decir es que es cierto que es una condición necesaria, pero es una condición inútil, porque TODAS las parejas de relaciones de equivalencia R,S la cumplen. No sirve para descartar nada.
Si te refieres a \( \{bucles\}=R\cap S \) entonces es FALSO que sea una condición necesaria. Por ejemplo en un conjunto de seis elementos si consideramos las relaciones de particiones:
\( X/R=\{\{1\},\{2\},\{3,4\},\{5,6\}\} \)
\( X/S=\{\{1,2\},\{3\},\{4\},\{5,6\}\} \)
se puede que ver que \( R\cup S \) es de equivalencia y \( R\cap S \) es algo más que bucles; por ejemplo \( (5,6)\in R\cap S \).

Entiendo. Al principio así lo consideré.

Quizás, con lo de los bucles se refiera a las relaciones reflexivas, es decir, que para que la unión de  relaciones de equivalencia sea una relación de equivalencia es necesario, i.e. solo si, (aunque no suficiente) que \( R\subset S \vee S\subset R \) o que la intersección, \(  R\cap S \) incluya las relaciones reflexivas.

Sin embargo, como solo trabajaba con tres o cuatro elementos en \( X \) y no veía que si \( R\cup S \) es una relación de equivalencia entonces la intersección \( R\cap S \) pudiera contener a otros pares que no fueran los de las reflexividad, especulé con que \( R\cap S=\{\mbox{ bucles }\} \). Con el ejemplo que has puesto de seis elementos en \( X \), se ve claro que  \( R\cap S=\{\mbox{ bucles }\} \) NO es una condición necesaria, aunque \( R\cap S\supset\{\mbox{ bucles }\} \) sí lo es. Gracias, una vez más, por la aclaración.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

especulé con que \( R\cap S=\{\mbox{ bucles }\} \). Con el ejemplo que has puesto de seis elementos en \( X \), se ve claro que  \( R\cap S=\{\mbox{ bucles }\} \) NO es una condición necesaria, aunque \( R\cap S\supset\{\mbox{ bucles }\} \) sí lo es. Gracias, una vez más, por la aclaración.
Saludos

Correcto. Y en lo rojo, si necesaria, pero tan necesaria como que \( 2+3=5 \).

Saludos.

[manooooh]

Hola

Gracias a ambos.

Me he perdido un poco con las respuestas, lo que se debería aclarar es entonces:

b) iii) Sólo si: \( R\subseteq S\lor S\subseteq R\lor{} \) (aquí parece que falta algo, ¿qué es?)

Si \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \) entonces \( R\cup S \) es una de ellas, con lo cual es de equivalencia. También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Lo marcado en rojo se debería reemplazar por "También en otros casos donde \( R\cup S \) sea transitiva"?

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Correcto. Y en lo rojo, si necesaria, pero tan necesaria como que \( 2+3=5 \).

Bueno, la utilidad de una condición necesaria es otro tema; nunca se sabe cuando nos puede ser útil. 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

b) iii) Sólo si: \( R\subseteq S\lor S\subseteq R\lor{} \) (aquí parece que falta algo, ¿qué es?)

Si \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \) entonces \( R\cup S \) es una de ellas, con lo cual es de equivalencia. También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Lo marcado en rojo se debería reemplazar por "También en otros casos donde \( R\cup S \) sea transitiva"?

En realidad, la condición \( (R\subset S )\vee  (S\subset R) \) no es una condición necesaria para que \( R\cup S \) sea una relación de equivalencia. Ahora bien, si a esa condición se le añade otra que sí sea necesaria, como la de que \( R\cap S\supset \{\mbox{  bucles }\} \) o cualquier otra condición \( q \) que sea necesaria, entonces \( (R\subset S )\vee  (S\subset R)\vee q \) sería necesaria para que la unión fuera de equivalencia. Y esa otra condición \( q \) bien podría ser la que comentas de que \( R\cup S \) fuese transitiva, pues eso es lo que se le exige a una relación de equivalencia, junto con la reflexividad y la simetría.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

b) iii) Sólo si: \( R\subseteq S\lor S\subseteq R\lor{} \) (aquí parece que falta algo, ¿qué es?)

Si \( R\subseteq S\lor S\subseteq R \) entonces \( R\cup S \) es una de ellas, con lo cual es de equivalencia. También en otros casos donde \( R\cap S \) sean sólo bucles.

¿Lo marcado en rojo se debería reemplazar por "También en otros casos donde \( R\cup S \) sea transitiva"?

Sería una opción correcta. Es la primera de dos opciones que expuse en mi primera respuesta a tu pregunta:

Una condición obvia es exigir la transitividad: si \( (a,b)\in R\cup S \) y \( (b,c)\in R\cup S \) entonces \( (a,c)\in R\cup S.
 \).

Otra opción: si para todo \( x\in X \) entonces \( cl_R(x)\subset cl_S(x) \) ó \( cl_S(x)\subset cl_R(x) \).

Saludos.