[manooooh]

Hola!

En el conjunto de los enteros se define:

\( xRy\iff(-1)^{x+y}=1. \)

Demostrar que es de equivalencia.


Pude comprobar fácilmente que es reflexiva y simétrica.

Para la transitiva: Para todo \( x,y,z\in\Bbb{Z} \):

\( xRy\land yRz\to(-1)^{x+y}=1\land(-1)^{y+z}=1 \)

Y a partir de aquí intenté de mil maneras sin éxito:

1) Reescribiendo el \( 1 \): \( xRy\iff(-1)^{x+y}=(-1)^2\iff x+y=2 \) pero esta "equivalente" no es reflexiva. ¿Cuál es el paso incorrecto?

2) Llevando la igualdad a otra equivalente:

\( xRy\iff(-1)^x(-1)^y=1\iff(-1)^x(-1)^y(-1)^{-y}=1(-1)^{-y}\iff(-1)^x=(-1)^{-y}\iff x=-y \) pero no funciona. ¿Cuál es el paso incorrecto?

3) Igualando:

\( (-1)^{x+y}=(-1)^{y+z} \). Si la base es la misma, los exponentes también: \( x+y=y+z\to x-z=0 \) hasta aquí llegué.

4) Multiplicando por \( (-1)^{z-y} \) la primera parte y \( (-1)^{x-y} \) la segunda parte: \( (-1)^{x+y}(-1)^{z-y}=1\cdot(-1)^{z-y}\land(-1)^{y+z}(-1)^{x-y}=1\cdot(-1)^{x-y} \) luego \( (-1)^{x+z}=(-1)^{z-y}\land(-1)^{x+z}=(-1)^{x-y} \) hasta aquí llegué.

5) Aplicando logaritmo natural a la definición: \( xRy\iff(x+y)\ln(-1)=\ln(1) \) hasta aquí llegué porque \( \ln(-1) \) no es un número entero.

¿Por qué algunos métodos no dan resultados equivalentes a la expresión original? ¿Alguien conoce una solución?

Gracias!!
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...

2) Igualando:

\( (-1)^{x+y}=(-1)^{y+z} \). Si la base es la misma, los exponentes también: \( x+y=y+z\to x-z=0 \) hasta aquí llegué.

...

Pero si has llegado a que \( x-z=0\Longleftrightarrow x=z \), entonces \( (-1)^{x+z}=(-1)^{2x}=\left((-1)^{x}\right)^2=1\Longleftrightarrow xRz \)
AÑADIDO.
Tras leer lo que ha escrito Luis Fuentes deduzco que no se puede llegar a que \( x-z=0 \). Es preciso razonar como ha hecho él; \( x+y=2p, y+z=2q,\,\,\,p,q\in\mathbb{Z}\Longrightarrow x+z=2p-y+2q-y=2(p+q-y)=\dot{2}\Longrightarrow (-1)^{x+z}=1\Longrightarrow xRz \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

1) Reescribiendo el \( 1 \): \( xRy\iff(-1)^{x+y}=(-1)^2\iff x+y=2 \) pero esta "equivalente" no es reflexiva. ¿Cuál es el paso incorrecto?

Es falso que \( (-1)^a=(-1)^b \) implique que \( a=b \). Por ejemplo \( (-1)^2=(-1)^8 \).

En realidad te estás complicando la vida desde el principio. La relación:

\( xRy\iff(-1)^{x+y}=1 \)

equivale a:

\( xRy\iff \) \( x+y \) es par.

Entonces si:

\( xRy\iff \) \( x+y \) es par.
\( yRz\iff \) \( y+z \) es par.

Y:

\( x+z=(x+y)+(y+z)-2y=par+par-par=par \) y por tanto \( xRz \).

2) Llevando la igualdad a otra equivalente:

\( xRy\iff(-1)^x(-1)^y=1\iff(-1)^x(-1)^y(-1)^{-y}=1(-1)^{-y}\iff(-1)^x=(-1)^{-y}\iff \color{red}x=-y\color{black} \) pero no funciona. ¿Cuál es el paso incorrecto?

Mismo error al igualar los exponentes.

3) Igualando:

\( (-1)^{x+y}=(-1)^{y+z} \). Si la base es la misma, los exponentes también: \( x+y=y+z\to x-z=0 \) hasta aquí llegué.

Idem.

Saludos.

[geómetracat]

Es básicamente lo mismo que lo de Luis, pero si quieres hacerlo exclusivamente con la definición que te dan, también puedes verlo de la siguiente manera. Si \( xRy \) y \( yRz \), entonces \( (-1)^{x+y}=1 \) y \( (-1)^{y+z}=1 \). Multiplicando ambas igualdades, \( (-1)^{x+2y+z}=1 \). Pero \( (-1)^{x+2y+z}=(-1)^{x+z}(-1)^{2y}=(-1)^{x+z}((-1)^2)^y=(-1)^{x+z}1^y=(-1)^{x+z} \). Luego \( (-1)^{x+z}=1 \) y por tanto \( xRz \).

[manooooh]

Hola

Muchas gracias a todos!! Fue de gran ayuda descubrir mi error garrafal! Mientras escribía pensaba que algo andaba mal con las potencias de igual base... pero por despistado no se me ocurrió poner ningún contraejemplo sencillo.

geómetracat me quedo con la tuya. Es simple y trabaja directamente con la definición original y empleando propiedades básicas de los números, y si hubiera encontrado un camino habría sido ese por cómo me gusta demostrar estas cosas a mí (sin recurrir a equivalencias "lejanas"). ¿Cómo se te ocurrió que ese camino era viable? Yo no le veo que se desprenda del camino de Luis.

Saludos