Hola a todos.
\( \textbf{ Complementando la pregunta} \) Dado un centro linear de la forma
\( \dot{x}=-y \) \( {\bf(1)} \)
\( \dot{y}=x \)
El cual tiene por retrato de fase
La pregunta que surge es: Si hacemos
\( \dot{x}=-y + \varepsilon f(x,y) \) \( {\bf(2)} \)
\( \dot{y}=x+ \varepsilon g(x,y) \)
¿Cuántos de estos círculos (Órbitas) se preservan bajo la la pertubación hecha en \( {\bf(2)} \)?. La respuesta a esta pregunta aún continua en abierto, mas podemos usar una herramienta para hallar un número mínimo de órbitas fechadas que se mantienen, esta herramienta es conocida como las funciones de Melnikov \( {\bf M} \). En resumidas cuentas las funciones de Melnikov lo que intentan es trasladar el problem anterior a la busqueda de zeros simples de las fuciones \( {\bf M} \), esto es \( v \in \mathbb{R} \) tales que \( {\bf M}(v)=0 \) y \( {\bf M}^{\prime}(v)\neq 0 \). En este contexto surge la pregunta que se hace en este hilo. Aqui se tomaron dos centros como en \( {\bf(1)} \), se realizó el proceso de \( {\bf(2)} \) y aparecieron las funciones \( {\bf M} \) que aqui son llamadas de \( f(a_{i}, v) \) y \( g(a_{i},v) \). La idea es encontrar parametros para que las funciones tengan \( {\bf k} \) zeros simples.
El probelma anterior se puede pensar como si a un péndulo le incrementaramos (restaramos) una fuerza y ver si podemos encontrar un angulo donde con esta fuerza el péndulo continua en movimiento oscilante).
\( \textbf{ Fin del complemento} \)
Me gustaria saber si ustedes hallan una escogencia \( a_{i}, \) \( i=1,2,3,4 \) tales que las funciones:
\( f(a_{i},v) =2 \cos (2 v) \left(4 a_{1}^2+ a_{3}^2 k (4 k-5)+ a_{4}^2 (4-5 k)\right)+4 a_{4} (a_{1} (8-5 k)+a_{2} k) \cos ((k-2) v) \left( a_{4} (a_{1} (k-4)+ a_{2}) \cos (k v)+ a_{1} (a_{2}-2 a_{1})+a_{3}^2 k (1-2 k)+ \\ a_{4}^2 (k-2)\right)-a_{4} (a_{1} (5 k-8)+a_{2} k) \cos ((k+2) v) \)
\( g(a_{i}, u)= \frac{1}{4} \pi \left(2 \left(a_{3} (a_{1}+a_{2} k) \cos (k u)+a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3} k \sin (u) \cos (u) \sin (k u)+a_{3}^2 k+a_{4}^2 k\right)-5 k \cos (2 u) \left(a_{2} a_{3} \cos (k u)+a_{3}^2+a_{4}^2\right)- \\ 8 k \sin ^2(u) \left(a_{2} a_{3} \cos (k u)+a_{3}^2+a_{4}^2\right)\right) \)
tengan \( k \) zeros o \( 2k \) o inclusive un numero de raices de una sucesión conocida. Solo me gustaria saber si alguno de ustedes la encuentra, y cuantos zeros hallaron dependiendo de los parametros, mas que la respuesta de los parámetros.
Gracias de antemano.
